Module 12: Curve Sketching & Optimization
Ekstremum Relatif & Absolut, Kecekungan, Asimtot, dan Aplikasi Optimasi Bisnis. Materi LEAN dengan visualisasi SVG native.
🎥 Playlist Kuliah Pendukung
13.1 Ekstremum Relatif & Uji Turunan Pertama
Turunan pertama f'(x) menunjukkan kemiringan kurva. Jika f'(x) > 0, fungsi naik. Jika f'(x) < 0, fungsi turun. Nilai kritis terjadi saat f'(x) = 0 atau f'(x) tidak terdefinisi.
Uji Turunan Pertama: Jika f'(x) berubah dari (+) ke (−) di x = c, maka f(c) adalah maksimum relatif.
📌 Contoh Kasus UMKM (Optimasi Laba Harian):
Fungsi laba: L(q) = −q3 + 15q2 − 36q (dalam ratus ribu Rp).
L'(q) = −3q2 + 30q − 36 = −3(q − 2)(q − 8).
Nilai kritis: q = 2 dan q = 8.
Uji tanda: L'(1) < 0, L'(5) > 0, L'(10) < 0.
Laba minimum relatif di q=2, dan laba maksimum relatif di q=8 unit. Ini memberi tahu pemilik usaha jumlah produksi optimal harian.
Fungsi laba: L(q) = −q3 + 15q2 − 36q (dalam ratus ribu Rp).
L'(q) = −3q2 + 30q − 36 = −3(q − 2)(q − 8).
Nilai kritis: q = 2 dan q = 8.
Uji tanda: L'(1) < 0, L'(5) > 0, L'(10) < 0.
Laba minimum relatif di q=2, dan laba maksimum relatif di q=8 unit. Ini memberi tahu pemilik usaha jumlah produksi optimal harian.
13.2 Ekstremum Absolut pada Interval Tertutup
Teorema Nilai Ekstrem: Jika fungsi kontinu pada interval tertutup [a, b], maka fungsi tersebut pasti memiliki nilai maksimum dan minimum absolut pada interval tersebut.
Langkah: 1. Cari nilai kritis di (a, b). 2. Evaluasi f(x) di nilai kritis dan di titik ujung a dan b. 3. Bandingkan hasilnya.
📌 Contoh Kasus E-commerce (Batas Harga Promo):
Fungsi pendapatan: R(p) = −2p2 + 120p, untuk p dalam interval [10, 40].
R'(p) = −4p + 120 = 0 → p = 30 (nilai kritis).
Evaluasi: R(10) = 1000, R(30) = 1800, R(40) = 1600.
Pendapatan maksimum absolut adalah Rp 1.800.000 pada harga p = 30. Meskipun p=40 lebih tinggi, pendapatan justru turun karena permintaan anjlok.
Fungsi pendapatan: R(p) = −2p2 + 120p, untuk p dalam interval [10, 40].
R'(p) = −4p + 120 = 0 → p = 30 (nilai kritis).
Evaluasi: R(10) = 1000, R(30) = 1800, R(40) = 1600.
Pendapatan maksimum absolut adalah Rp 1.800.000 pada harga p = 30. Meskipun p=40 lebih tinggi, pendapatan justru turun karena permintaan anjlok.
13.3 Kecekungan (Concavity) & Titik Belok
Turunan kedua f”(x) mengukur laju perubahan kemiringan. Jika f”(x) > 0, kurva cekung ke atas (seperti mangkuk). Jika f”(x) < 0, kurva cekung ke bawah.
Titik Belok (Inflection Point): Titik di mana kecekungan berubah (f”(x) berubah tanda).
📌 Contoh Kasus Perencanaan Pensiun 2027:
Nilai portofolio: V(t) = −t3 + 6t2 + 10 (t dalam tahun).
V'(t) = −3t2 + 12t (laju pertumbuhan).
V”(t) = −6t + 12. Titik belok di t = 2.
Sebelum tahun ke-2, laju pertumbuhan portofolio Anda semakin cepat (cekung atas). Setelah tahun ke-2, meskipun nilai masih naik, laju pertumbuhannya melambat (cekung bawah). Ini sinyal untuk mulai menyesuaikan strategi investasi menjelang 2027.
Nilai portofolio: V(t) = −t3 + 6t2 + 10 (t dalam tahun).
V'(t) = −3t2 + 12t (laju pertumbuhan).
V”(t) = −6t + 12. Titik belok di t = 2.
Sebelum tahun ke-2, laju pertumbuhan portofolio Anda semakin cepat (cekung atas). Setelah tahun ke-2, meskipun nilai masih naik, laju pertumbuhannya melambat (cekung bawah). Ini sinyal untuk mulai menyesuaikan strategi investasi menjelang 2027.
13.4 Uji Turunan Kedua
Cara cepat mengklasifikasikan nilai kritis (di mana f'(c) = 0) tanpa membuat tabel tanda.
Jika f'(c) = 0 dan f”(c) < 0 → Maksimum Relatif.
Jika f'(c) = 0 dan f”(c) > 0 → Minimum Relatif.
Jika f'(c) = 0 dan f”(c) > 0 → Minimum Relatif.
📌 Contoh Kasus Bisnis (Minimisasi Biaya Rata-rata):
Biaya rata-rata: C(q) = q + 100/q.
C'(q) = 1 − 100/q2 = 0 → q = 10.
C”(q) = 200/q3. Pada q = 10, C”(10) = 200/1000 = 0.2 > 0.
Karena C”(10) > 0, q = 10 adalah minimum relatif (dan absolut untuk q>0). Produksi 10 unit memberikan biaya rata-rata terendah.
Biaya rata-rata: C(q) = q + 100/q.
C'(q) = 1 − 100/q2 = 0 → q = 10.
C”(q) = 200/q3. Pada q = 10, C”(10) = 200/1000 = 0.2 > 0.
Karena C”(10) > 0, q = 10 adalah minimum relatif (dan absolut untuk q>0). Produksi 10 unit memberikan biaya rata-rata terendah.
13.5 Asimtot (Vertical, Horizontal, Oblique)
Asimtot menggambarkan perilaku ekstrem fungsi: vertikal saat penyebut nol, horizontal saat x → ∞.
Asimtot Horizontal: y = L jika limx→∞ f(x) = L.
📌 Contoh Kasus E-commerce (Jenuh Pasar):
Jumlah pengguna aktif setelah t bulan: U(t) = 5000t / (t + 10).
limt→∞ U(t) = limt→∞ 5000 / (1 + 10/t) = 5000.
Garis y = 5000 adalah asimtot horizontal. Ini berarti pasar memiliki batas jenuh (saturation point) maksimal 5.000 pengguna, tidak peduli berapa lama Anda beriklan.
Jumlah pengguna aktif setelah t bulan: U(t) = 5000t / (t + 10).
limt→∞ U(t) = limt→∞ 5000 / (1 + 10/t) = 5000.
Garis y = 5000 adalah asimtot horizontal. Ini berarti pasar memiliki batas jenuh (saturation point) maksimal 5.000 pengguna, tidak peduli berapa lama Anda beriklan.
13.6 Aplikasi Maksimum & Minimum (Optimasi)
Langkah kunci: 1. Identifikasi fungsi tujuan (misal: Laba, Biaya). 2. Nyatakan dalam satu variabel. 3. Cari turunan, samakan dengan 0. 4. Verifikasi dengan uji turunan kedua.
📌 Contoh Kasus UMKM (Desain Kemasan Minimalis):
Kotak tanpa tutup dengan volume 500 cm3 dan alas persegi (sisi x, tinggi h). Minimalkan luas permukaan (bahan).
Kendala: x2h = 500 → h = 500/x2.
Fungsi Tujuan (Luas): A = x2 + 4xh = x2 + 4x(500/x2) = x2 + 2000/x.
A'(x) = 2x − 2000/x2 = 0 → 2x3 = 2000 → x = 10 cm.
A”(10) = 2 + 4000/1000 = 6 > 0 (Minimum).
Dimensi optimal: alas 10×10 cm, tinggi 5 cm. Ini menghemat biaya bahan kemasan secara maksimal.
Kotak tanpa tutup dengan volume 500 cm3 dan alas persegi (sisi x, tinggi h). Minimalkan luas permukaan (bahan).
Kendala: x2h = 500 → h = 500/x2.
Fungsi Tujuan (Luas): A = x2 + 4xh = x2 + 4x(500/x2) = x2 + 2000/x.
A'(x) = 2x − 2000/x2 = 0 → 2x3 = 2000 → x = 10 cm.
A”(10) = 2 + 4000/1000 = 6 > 0 (Minimum).
Dimensi optimal: alas 10×10 cm, tinggi 5 cm. Ini menghemat biaya bahan kemasan secara maksimal.
📝 Latihan Soal Pilihan (per Section)
Soal 1 (13.1): Cari nilai kritis dari f(x) = x3 − 12x.
Jawaban: x = 2 dan x = −2
Pembahasan: f'(x) = 3x2 − 12 = 3(x2 − 4) = 3(x − 2)(x + 2). Samakan dengan 0.
Pembahasan: f'(x) = 3x2 − 12 = 3(x2 − 4) = 3(x − 2)(x + 2). Samakan dengan 0.
Soal 2 (13.4): Gunakan uji turunan kedua untuk f(x) = x3 − 3x2 di x = 2.
Jawaban: Minimum relatif
Pembahasan: f'(x) = 3x2 − 6x. f'(2) = 0. f”(x) = 6x − 6. f”(2) = 6 > 0, jadi minimum relatif.
Pembahasan: f'(x) = 3x2 − 6x. f'(2) = 0. f”(x) = 6x − 6. f”(2) = 6 > 0, jadi minimum relatif.
Soal 3 (13.5): Cari asimtot horizontal dari f(x) = (3x + 1) / (x − 2).
Jawaban: y = 3
Pembahasan: Bagi pembilang dan penyebut dengan x: limx→∞ (3 + 1/x) / (1 − 2/x) = 3 / 1 = 3.
Pembahasan: Bagi pembilang dan penyebut dengan x: limx→∞ (3 + 1/x) / (1 − 2/x) = 3 / 1 = 3.
Soal 4 (13.6): Maksimumkan A = x(20 − x).
Jawaban: x = 10, A = 100
Pembahasan: A(x) = 20x − x2. A'(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10. A”(x) = −2 < 0 (Maksimum).
Pembahasan: A(x) = 20x − x2. A'(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10. A”(x) = −2 < 0 (Maksimum).
🎯 Chapter 13 Review Problems (Komprehensif)
Soal-soal kunci untuk menguji penguasaan penggambaran kurva dan optimasi. Klik untuk melihat pembahasan.
Review 1: Analisis Fungsi Lengkap
Soal: Untuk f(x) = x3 − 3x2 + 4, tentukan interval naik/turun, ekstremum relatif, dan titik belok.
🔍 Lihat Pembahasan
f'(x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2). Naik pada (−∞, 0) dan (2, ∞). Turun pada (0, 2).
Maksimum relatif di x = 0 (f(0) = 4). Minimum relatif di x = 2 (f(2) = 0).
f”(x) = 6x − 6 = 0 → x = 1. Titik belok di (1, 2).
Maksimum relatif di x = 0 (f(0) = 4). Minimum relatif di x = 2 (f(2) = 0).
f”(x) = 6x − 6 = 0 → x = 1. Titik belok di (1, 2).
Review 2: Ekstremum Absolut
Soal: Cari nilai maksimum dan minimum absolut dari f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 pada interval [0, 4].
🔍 Lihat Pembahasan
f'(x) = 3x2 − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Nilai kritis: x = 1, x = 3.
Evaluasi: f(0) = 1, f(1) = 5, f(3) = 1, f(4) = 5.
Maksimum absolut: 5 (di x=1 dan x=3). Minimum absolut: 1 (di x=0 dan x=3).
Evaluasi: f(0) = 1, f(1) = 5, f(3) = 1, f(4) = 5.
Maksimum absolut: 5 (di x=1 dan x=3). Minimum absolut: 1 (di x=0 dan x=3).
Review 3: Asimtot
Soal: Tentukan semua asimtot dari f(x) = (x2 − 1) / (x2 − 4).
🔍 Lihat Pembahasan
Asimtot Vertikal: Penyebut = 0 → x = 2 dan x = −2 (pembilang tidak nol di titik ini).
Asimtot Horizontal: limx→±∞ (x2/x2) = 1. Jadi, y = 1.
Asimtot Horizontal: limx→±∞ (x2/x2) = 1. Jadi, y = 1.
Review 4: Optimasi Geometri
Soal: Sebuah peternakan ingin membuat kandang persegi panjang yang berdampingan dengan sungai (tidak perlu pagar di sisi sungai). Jika tersedia 200 m pagar untuk 3 sisi lainnya, berapa dimensi yang memaksimalkan luas?
🔍 Lihat Pembahasan
Misal x = lebar (tegak lurus sungai), y = panjang (sejajar sungai).
Kendala: 2x + y = 200 → y = 200 − 2x.
Luas: A = xy = x(200 − 2x) = 200x − 2x2.
A'(x) = 200 − 4x = 0 → x = 50. A”(x) = −4 < 0 (Maksimum).
Dimensi optimal: Lebar = 50 m, Panjang = 100 m. Luas maksimal = 5.000 m2.
Kendala: 2x + y = 200 → y = 200 − 2x.
Luas: A = xy = x(200 − 2x) = 200x − 2x2.
A'(x) = 200 − 4x = 0 → x = 50. A”(x) = −4 < 0 (Maksimum).
Dimensi optimal: Lebar = 50 m, Panjang = 100 m. Luas maksimal = 5.000 m2.
Review 5: Optimasi Bisnis (EOQ Sederhana)
Soal: Total biaya tahunan persediaan adalah C(x) = (D/x)S + (x/2)H, di mana x adalah ukuran pesanan, D = permintaan tahunan, S = biaya pesan, H = biaya simpan per unit. Cari x yang meminimalkan C(x).
🔍 Lihat Pembahasan
C'(x) = −DS/x2 + H/2 = 0.
H/2 = DS/x2 → x2 = 2DS/H → x = √(2DS/H).
C”(x) = 2DS/x3 > 0 untuk x > 0, sehingga ini adalah minimum absolut. Ini adalah rumus Economic Order Quantity (EOQ) yang terkenal.
H/2 = DS/x2 → x2 = 2DS/H → x = √(2DS/H).
C”(x) = 2DS/x3 > 0 untuk x > 0, sehingga ini adalah minimum absolut. Ini adalah rumus Economic Order Quantity (EOQ) yang terkenal.
Review 6: Laffer Curve (Aplikasi Ekonomi)
Soal: Fungsi pendapatan pajak R(t) = 100t − t2, di mana t adalah tingkat pajak dalam persen (0 ≤ t ≤ 100). Pada tingkat pajak berapa pendapatan maksimal?
🔍 Lihat Pembahasan
R'(t) = 100 − 2t = 0 → t = 50.
R”(t) = −2 < 0, jadi ini maksimum.
Jawaban: Pendapatan pajak maksimal tercapai pada tingkat pajak 50%. Di atas 50%, pendapatan justru turun karena insentif bekerja hilang (konsep Kurva Laffer).
R”(t) = −2 < 0, jadi ini maksimum.
Jawaban: Pendapatan pajak maksimal tercapai pada tingkat pajak 50%. Di atas 50%, pendapatan justru turun karena insentif bekerja hilang (konsep Kurva Laffer).
🎓 Catatan Penutup: Penggambaran kurva bukan sekadar menggambar grafik, melainkan reverse-engineering perilaku sistem bisnis. Dari menemukan titik jenuh pasar (asimtot) hingga menghitung ukuran pesanan optimal (EOQ), kalkulus memberikan presisi yang tidak bisa ditebak oleh intuisi semata. Gunakan alat ini untuk mengaudit model bisnis aurinoworks.com dan memproyeksikan portofolio pensiun 2027 Anda dengan data, bukan spekulasi.