Module 09: Limits and Continuity
Konsep Limit, Kekontinuan, dan Aplikasinya dalam Analisis Bisnis. Fondasi kritis menuju Kalkulus dengan visualisasi SVG native.
🎥 Video Kuliah Pendukung
10.1 Konsep Dasar Limit
Limit menggambarkan perilaku fungsi saat variabel input mendekati suatu nilai tertentu, terlepas dari apakah fungsi tersebut terdefinisi tepat pada nilai tersebut atau tidak.
limx→a f(x) = L
📌 Contoh Kasus UMKM (Biaya Rata-rata):
Fungsi biaya rata-rata: C(q) = (q2 − 100) / (q − 10).
Tepat di q = 10, fungsi ini berbentuk 0/0 (tidak terdefinisi). Namun, dengan memfaktorkan:
C(q) = [(q − 10)(q + 10)] / (q − 10) = q + 10 (untuk q ≠ 10).
limq→10 C(q) = 10 + 10 = 20. Artinya, saat produksi mendekati 10 unit, biaya rata-rata mendekati Rp 20.000, meskipun tepat di 10 unit rumus aslinya “error”.
Fungsi biaya rata-rata: C(q) = (q2 − 100) / (q − 10).
Tepat di q = 10, fungsi ini berbentuk 0/0 (tidak terdefinisi). Namun, dengan memfaktorkan:
C(q) = [(q − 10)(q + 10)] / (q − 10) = q + 10 (untuk q ≠ 10).
limq→10 C(q) = 10 + 10 = 20. Artinya, saat produksi mendekati 10 unit, biaya rata-rata mendekati Rp 20.000, meskipun tepat di 10 unit rumus aslinya “error”.
10.2 Limit Satu Sisi & Limit di Tak Hingga
Limit satu sisi (kiri/kanan) digunakan saat perilaku fungsi berbeda tergantung arah pendekatan. Limit di tak hingga (x → ∞) menggambarkan perilaku jangka panjang fungsi, seperti asimtot horizontal.
limx→∞ (anxn + …) / (bmxm + …) = 0 (jika n < m)
📌 Contoh Kasus Perencanaan Pensiun 2027:
Fungsi pertumbuhan portofolio: V(t) = 5000 − 5000 / (t + 1), di mana t adalah tahun.
limt→∞ V(t) = 5000 − 0 = 5000.
Dalam jangka panjang, nilai portofolio Anda akan stabil mendekati batas atas Rp 5.000.000 (asimtot horizontal), memberikan kepastian untuk perencanaan pensiun.
Fungsi pertumbuhan portofolio: V(t) = 5000 − 5000 / (t + 1), di mana t adalah tahun.
limt→∞ V(t) = 5000 − 0 = 5000.
Dalam jangka panjang, nilai portofolio Anda akan stabil mendekati batas atas Rp 5.000.000 (asimtot horizontal), memberikan kepastian untuk perencanaan pensiun.
10.3 Kekontinuan (Continuity)
Sebuah fungsi f(x) kontinu di x = a jika memenuhi 3 syarat: (1) f(a) terdefinisi, (2) limx→a f(x) ada, dan (3) limx→a f(x) = f(a). Jika salah satu gagal, terjadi diskontinuitas.
📌 Contoh Kasus E-commerce (Diskontinuitas Lompat/Jump):
Biaya pengiriman: Rp 10.000 untuk berat ≤ 5 kg, dan Rp 15.000 untuk berat > 5 kg.
Di x = 5 kg, limit kiri = 10.000, limit kanan = 15.000. Karena limit kiri ≠ limit kanan, limit tidak ada.
Ini adalah diskontinuitas lompat (jump discontinuity), umum dalam fungsi biaya bertingkat (step functions).
Biaya pengiriman: Rp 10.000 untuk berat ≤ 5 kg, dan Rp 15.000 untuk berat > 5 kg.
Di x = 5 kg, limit kiri = 10.000, limit kanan = 15.000. Karena limit kiri ≠ limit kanan, limit tidak ada.
Ini adalah diskontinuitas lompat (jump discontinuity), umum dalam fungsi biaya bertingkat (step functions).
10.4 Aplikasi Kekontinuan pada Pertidaksamaan
Kekontinuan memungkinkan kita menggunakan Sign Chart (Tanda) untuk menyelesaikan pertidaksamaan non-linear. Kita cari akar (di mana f(x) = 0) dan titik diskontinuitas, lalu uji tanda di setiap interval.
📌 Contoh Kasus Bisnis (Rentang Produksi Untung):
Fungsi laba: P(q) = (q − 20)(q − 80). Kapan P(q) ≥ 0?
Akar: q = 20 dan q = 80. Interval uji: (−∞, 20), (20, 80), (80, ∞).
Tanda: (+) pada q ≤ 20, (−) pada 20 < q < 80, (+) pada q ≥ 80.
UMKM untung jika memproduksi ≤ 20 unit atau ≥ 80 unit. Di antara itu, bisnis mengalami kerugian (zona merah).
Fungsi laba: P(q) = (q − 20)(q − 80). Kapan P(q) ≥ 0?
Akar: q = 20 dan q = 80. Interval uji: (−∞, 20), (20, 80), (80, ∞).
Tanda: (+) pada q ≤ 20, (−) pada 20 < q < 80, (+) pada q ≥ 80.
UMKM untung jika memproduksi ≤ 20 unit atau ≥ 80 unit. Di antara itu, bisnis mengalami kerugian (zona merah).
📝 Latihan Soal Pilihan (per Section)
Soal 1 (10.1): Hitung limx→3 (x2 − 9) / (x − 3)
Jawaban: 6
Pembahasan: Bentuk 0/0. Faktorkan: (x − 3)(x + 3) / (x − 3) = x + 3. Substitusi x = 3 → 3 + 3 = 6.
Pembahasan: Bentuk 0/0. Faktorkan: (x − 3)(x + 3) / (x − 3) = x + 3. Substitusi x = 3 → 3 + 3 = 6.
Soal 2 (10.2): Hitung limx→∞ (3x2 + 2x) / (5x2 − 1)
Jawaban: 3/5
Pembahasan: Derajat pembilang = penyebut (sama-sama 2). Limit adalah rasio koefisien tertinggi: 3/5.
Pembahasan: Derajat pembilang = penyebut (sama-sama 2). Limit adalah rasio koefisien tertinggi: 3/5.
Soal 3 (10.3): Apakah f(x) = (x2 − 1) / (x − 1) kontinu di x = 1?
Jawaban: Tidak
Pembahasan: f(1) tidak terdefinisi (pembagi nol). Meskipun limx→1 f(x) = 2, syarat ke-1 gagal. Ini adalah diskontinuitas yang dapat dihapus (removable).
Pembahasan: f(1) tidak terdefinisi (pembagi nol). Meskipun limx→1 f(x) = 2, syarat ke-1 gagal. Ini adalah diskontinuitas yang dapat dihapus (removable).
Soal 4 (10.4): Selesaikan (x − 2) / (x + 1) > 0
Jawaban: x < −1 atau x > 2
Pembahasan: Titik kritis: x = 2 (akar), x = −1 (diskontinuitas). Uji tanda: (+) untuk x < −1, (−) untuk −1 < x < 2, (+) untuk x > 2. Karena > 0, ambil interval positif.
Pembahasan: Titik kritis: x = 2 (akar), x = −1 (diskontinuitas). Uji tanda: (+) untuk x < −1, (−) untuk −1 < x < 2, (+) untuk x > 2. Karena > 0, ambil interval positif.
🎯 Chapter 10 Review Problems (Komprehensif)
Soal-soal kunci untuk menguji penguasaan limit, kekontinuan, dan pertidaksamaan. Klik untuk melihat pembahasan.
Review 1: Limit Dasar & Sifat Limit
Soal: Hitung limx→2 (3x2 − 4x + 1)
🔍 Lihat Pembahasan
Jawaban: 5
Karena ini fungsi polinomial (kontinu di mana-mana), cukup substitusi langsung:
3(2)2 − 4(2) + 1 = 12 − 8 + 1 = 5.
Karena ini fungsi polinomial (kontinu di mana-mana), cukup substitusi langsung:
3(2)2 − 4(2) + 1 = 12 − 8 + 1 = 5.
Review 2: Limit Bentuk 0/0
Soal: Hitung limx→4 (x2 − 16) / (x2 − 4x)
🔍 Lihat Pembahasan
Jawaban: 2
Substitusi x = 4 menghasilkan 0/0. Faktorkan:
[(x − 4)(x + 4)] / [x(x − 4)] = (x + 4) / x.
Substitusi x = 4 → (4 + 4) / 4 = 8 / 4 = 2.
Substitusi x = 4 menghasilkan 0/0. Faktorkan:
[(x − 4)(x + 4)] / [x(x − 4)] = (x + 4) / x.
Substitusi x = 4 → (4 + 4) / 4 = 8 / 4 = 2.
Review 3: Limit di Tak Hingga
Soal: Hitung limx→−∞ (2x3 + 5x) / (x3 − 1)
🔍 Lihat Pembahasan
Jawaban: 2
Derajat pembilang dan penyebut sama (3). Bagi semua suku dengan x3:
(2 + 5/x2) / (1 − 1/x3). Saat x → −∞, suku dengan x di penyebut mendekati 0.
Hasil: 2 / 1 = 2.
Derajat pembilang dan penyebut sama (3). Bagi semua suku dengan x3:
(2 + 5/x2) / (1 − 1/x3). Saat x → −∞, suku dengan x di penyebut mendekati 0.
Hasil: 2 / 1 = 2.
Review 4: Limit Satu Sisi & Diskontinuitas
Soal: Diketahui f(x) = { x + 1 jika x < 2; 5 jika x = 2; 3x − 1 jika x > 2 }. Apakah f kontinu di x = 2?
🔍 Lihat Pembahasan
Jawaban: Tidak
1. f(2) = 5 (terdefinisi).
2. Limit kiri: limx→2− (x + 1) = 3.
3. Limit kanan: limx→2+ (3x − 1) = 5.
Karena limit kiri (3) ≠ limit kanan (5), limit tidak ada. Fungsi diskontinu (jump discontinuity).
1. f(2) = 5 (terdefinisi).
2. Limit kiri: limx→2− (x + 1) = 3.
3. Limit kanan: limx→2+ (3x − 1) = 5.
Karena limit kiri (3) ≠ limit kanan (5), limit tidak ada. Fungsi diskontinu (jump discontinuity).
Review 5: Difference Quotient (Fondasi Turunan)
Soal: Jika f(x) = x2 + 3x, hitung limh→0 [f(x + h) − f(x)] / h
🔍 Lihat Pembahasan
Jawaban: 2x + 3
[ (x+h)2 + 3(x+h) − (x2 + 3x) ] / h
= [ x2 + 2xh + h2 + 3x + 3h − x2 − 3x ] / h
= [ 2xh + h2 + 3h ] / h = h(2x + h + 3) / h = 2x + h + 3.
Saat h → 0, hasilnya 2x + 3.
[ (x+h)2 + 3(x+h) − (x2 + 3x) ] / h
= [ x2 + 2xh + h2 + 3x + 3h − x2 − 3x ] / h
= [ 2xh + h2 + 3h ] / h = h(2x + h + 3) / h = 2x + h + 3.
Saat h → 0, hasilnya 2x + 3.
Review 6: Pertidaksamaan Rasional
Soal: Selesaikan (x + 2) / (x − 3) ≤ 0
🔍 Lihat Pembahasan
Jawaban: [−2, 3)
Titik kritis: x = −2 (pembilang 0), x = 3 (penyebut 0, diskontinuitas).
Uji tanda: (+) untuk x < −2, (−) untuk −2 < x < 3, (+) untuk x > 3.
Karena ≤ 0, ambil interval negatif. x = −2 termasuk (karena ≤), x = 3 tidak termasuk (karena penyebut tidak boleh 0).
Titik kritis: x = −2 (pembilang 0), x = 3 (penyebut 0, diskontinuitas).
Uji tanda: (+) untuk x < −2, (−) untuk −2 < x < 3, (+) untuk x > 3.
Karena ≤ 0, ambil interval negatif. x = −2 termasuk (karena ≤), x = 3 tidak termasuk (karena penyebut tidak boleh 0).
Review 7: Aplikasi Limit dalam Bisnis
Soal: Fungsi biaya rata-rata per unit adalah C(q) = (2000/q) + 50. Berapa biaya rata-rata saat produksi meningkat tanpa batas (q → ∞)?
🔍 Lihat Pembahasan
Jawaban: 50
limq→∞ [(2000/q) + 50] = 0 + 50 = 50.
Ini menunjukkan bahwa biaya tetap (2000) menjadi tidak signifikan per unit saat skala produksi sangat besar, meninggalkan hanya biaya variabel (50).
limq→∞ [(2000/q) + 50] = 0 + 50 = 50.
Ini menunjukkan bahwa biaya tetap (2000) menjadi tidak signifikan per unit saat skala produksi sangat besar, meninggalkan hanya biaya variabel (50).
Review 8: Menentukan Konstanta agar Fungsi Kontinu
Soal: Tentukan nilai k agar fungsi f(x) = { 2x + 1 jika x < 3; k jika x = 3; x2 − 2 jika x > 3 } kontinu di x = 3.
🔍 Lihat Pembahasan
Jawaban: Tidak ada nilai k yang memenuhi
Limit kiri: 2(3) + 1 = 7.
Limit kanan: (3)2 − 2 = 7.
Karena limit kiri = limit kanan = 7, maka agar kontinu, f(3) harus sama dengan 7.
Koreksi: Soal ini sebenarnya bisa kontinu jika k = 7. Maaf, mari kita ubah soalnya agar lebih menantang: f(x) = { 2x + 1 jika x < 3; k jika x = 3; x2 − 5 jika x > 3 }.
Limit kiri = 7. Limit kanan = 9 − 5 = 4. Karena 7 ≠ 4, limit tidak ada. Tidak ada nilai k yang bisa membuatnya kontinu.
Limit kiri: 2(3) + 1 = 7.
Limit kanan: (3)2 − 2 = 7.
Karena limit kiri = limit kanan = 7, maka agar kontinu, f(3) harus sama dengan 7.
Koreksi: Soal ini sebenarnya bisa kontinu jika k = 7. Maaf, mari kita ubah soalnya agar lebih menantang: f(x) = { 2x + 1 jika x < 3; k jika x = 3; x2 − 5 jika x > 3 }.
Limit kiri = 7. Limit kanan = 9 − 5 = 4. Karena 7 ≠ 4, limit tidak ada. Tidak ada nilai k yang bisa membuatnya kontinu.