Module 04 – Lines, Parabolas & Systems

Leave a Comment / Matematika Bisnis / By

Module 04: Lines, Parabolas, & Systems

Pemodelan Linear, Kuadrat, dan Sistem Persamaan untuk Keputusan Bisnis. Materi LEAN dengan visualisasi SVG native.

🎥 Video Kuliah Pendukung

3.1 Garis & Kemiringan (Lines & Slope)

Kemiringan (slope, m) mengukur tingkat perubahan variabel dependen terhadap variabel independen. Dalam bisnis, ini merepresentasikan biaya marginal, depresiasi, atau laju pertumbuhan.

Slope: m = (y2 − y1) / (x2 − x1) | Bentuk Slope-Intercept: y = mx + b
Waktu (Tahun) Nilai (Juta Rp) Depresiasi Linear
📌 Contoh Kasus UMKM (Depresiasi Aset YouTube):
Anda membeli peralatan kamera seharga Rp 15.000.000 untuk channel kuliah. Nilai residu setelah 5 tahun diperkirakan Rp 5.000.000.
Slope (m) = (5.000.000 − 15.000.000) / (5 − 0) = −2.000.000.
Fungsi nilai: V(t) = −2.000.000t + 15.000.000.
Slope negatif (−2 juta/tahun) menunjukkan laju depresiasi straight-line yang konstan, berguna untuk perencanaan pajak dan penggantian aset menjelang pensiun 2027.
3.2 Fungsi Linear & Kurva Permintaan/Penawaran

Fungsi linear memodelkan hubungan proporsional. Dalam ekonomi, kurva permintaan (demand) umumnya memiliki slope negatif (harga naik, permintaan turun), sedangkan kurva penawaran (supply) memiliki slope positif.

Fungsi Permintaan: p = mq + c (dengan m < 0)
📌 Contoh Kasus E-commerce (Kopi Susu Gula Aren):
Data menunjukkan: pada harga Rp 18.000, terjual 100 cup/hari. Pada harga Rp 23.000, terjual 50 cup/hari.
Slope (m) = (23.000 − 18.000) / (50 − 100) = 5.000 / −50 = −100.
Fungsi permintaan: p − 18.000 = −100(q − 100) → p = −100q + 28.000.
Dengan fungsi ini, Anda bisa memprediksi jumlah penjualan pada harga berapa pun, atau menetapkan harga untuk mencapai target volume penjualan.
3.3 Fungsi Kuadrat & Parabola (Optimasi)

Fungsi kuadrat (y = ax2 + bx + c) membentuk parabola. Jika a < 0, parabola membuka ke bawah dan memiliki titik maksimum (vertex). Ini sangat krusial untuk mencari harga atau jumlah produksi yang memaksimalkan pendapatan atau laba.

Sumbu x Vertex (Titik Optimal): x = −b / (2a)
q (Qty) Pendapatan (R) Vertex (Maksimum)
📌 Contoh Kasus Riset Bisnis (Maksimisasi Pendapatan):
Fungsi permintaan: p = 100.000 − 200q. Pendapatan Total (R) = p × q = 100.000q − 200q2.
Ini adalah parabola membuka ke bawah (a = −200).
Quantity optimal (q) = −b / (2a) = −100.000 / (2 × −200) = 250 unit.
Menjual tepat 250 unit akan menghasilkan pendapatan maksimum. Di atas atau di bawah jumlah ini, pendapatan justru menurun.
3.4 Sistem Persamaan Linear

Digunakan ketika ada beberapa variabel yang saling terkait. Metode eliminasi atau substitusi digunakan untuk menemukan titik potong (solusi) yang memenuhi semua persamaan secara bersamaan.

📌 Contoh Kasus UMKM (Alokasi Budget Iklan):
Total budget iklan FB dan IG adalah Rp 5.000.000. Iklan FB menghasilkan 2x leads, IG menghasilkan 3x leads. Total leads yang diinginkan adalah 12.000.
Misal x = budget FB (juta), y = budget IG (juta).
1) x + y = 5
2) 2000x + 3000y = 12000 → 2x + 3y = 12
Eliminasi: (2x + 2y = 10) dikurangi dari (2x + 3y = 12) → y = 2.
Substitusi: x + 2 = 5 → x = 3.
Solusi: Alokasikan Rp 3.000.000 untuk FB dan Rp 2.000.000 untuk IG.
3.5 Sistem Nonlinear

Sistem yang melibatkan setidaknya satu persamaan nonlinear (misalnya, garis dan parabola). Diselesaikan terutama dengan metode substitusi.

📌 Contoh Kasus Bisnis:
Cari titik potong antara fungsi biaya linear (y = 2x + 10) dan fungsi pendapatan kuadrat (y = x2).
Substitusi: x2 = 2x + 10 → x2 − 2x − 10 = 0.
Gunakan rumus kuadrat untuk menemukan nilai x di mana kedua fungsi bertemu.
3.6 Aplikasi: Ekuilibrium & Break-Even Point (BEP)

Dua aplikasi paling vital dalam bisnis: Ekuilibrium (Permintaan = Penawaran) dan Break-Even (Total Pendapatan = Total Biaya).

q (Qty) Rp Total Cost (TC) Total Revenue (TR) BEP
📌 Contoh Kasus UMKM (Break-Even Analysis):
Biaya Tetap (FC) = Rp 10.000.000. Biaya Variabel (VC) = Rp 20.000/unit. Harga Jual (p) = Rp 45.000/unit.
TR = 45.000q
TC = 20.000q + 10.000.000
BEP terjadi saat TR = TC: 45.000q = 20.000q + 10.000.000 → 25.000q = 10.000.000 → q = 400 unit.
UMKM harus menjual minimal 400 unit untuk menutup semua biaya. Setiap unit di atas 400 memberikan kontribusi laba sebesar Rp 25.000 (margin kontribusi).
📝 Latihan Soal Pilihan (per Section)

Klik pada setiap soal untuk melihat jawaban dan pembahasan singkat.

Soal 1 (3.1): Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 50.000) dan (4, 30.000).
Jawaban: p = −10.000q + 70.000
Pembahasan: m = (30.000 − 50.000) / (4 − 2) = −10.000. Gunakan point-slope: p − 50.000 = −10.000(q − 2) → p = −10.000q + 20.000 + 50.000.
Soal 2 (3.3): Cari vertex dari fungsi R(q) = −2q2 + 800q.
Jawaban: q = 200, R = 80.000
Pembahasan: q = −b / (2a) = −800 / (2 × −2) = 200. Substitusi q = 200 ke fungsi: R(200) = −2(40.000) + 800(200) = −80.000 + 160.000 = 80.000.
Soal 3 (3.4): Selesaikan sistem: 2x + y = 10 dan x − y = 2.
Jawaban: x = 4, y = 2
Pembahasan: Jumlahkan kedua persamaan: (2x + y) + (x − y) = 10 + 2 → 3x = 12 → x = 4. Substitusi ke x − y = 2 → 4 − y = 2 → y = 2.
Soal 4 (3.6): Jika TR = 50q dan TC = 30q + 4.000, berapa BEP quantity?
Jawaban: q = 200
Pembahasan: TR = TC → 50q = 30q + 4.000 → 20q = 4.000 → q = 200.

🎯 Chapter 3 Review Problems (Komprehensif)

Soal-soal kunci dari akhir bab untuk menguji penguasaan konsep garis, parabola, sistem, dan aplikasi bisnis. Klik untuk melihat pembahasan.

Review 1: Persamaan Garis & Intercept
Soal: Tentukan slope, x-intercept, dan y-intercept dari garis 3x + 4y = 12.
🔍 Lihat Pembahasan
Ubah ke slope-intercept: 4y = −3x + 12 → y = (−3/4)x + 3.
Slope: −3/4.
y-intercept: (0, 3).
x-intercept: Set y = 0 → 3x = 12 → x = 4. Titik (4, 0).
Review 2: Garis Sejajar & Tegak Lurus
Soal: Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1, 5) dan tegak lurus terhadap garis y = 2x + 3.
🔍 Lihat Pembahasan
Slope garis asal (m1) = 2. Slope garis tegak lurus (m2) = −1 / m1 = −1/2.
Gunakan point-slope: y − 5 = (−1/2)(x − 1)
y = (−1/2)x + 1/2 + 5 → y = (−1/2)x + 11/2 (atau 2y + x = 11).
Review 3: Fungsi Kuadrat (Vertex & Range)
Soal: Untuk fungsi f(x) = x2 − 6x + 5, tentukan vertex, arah pembukaan, dan range-nya.
🔍 Lihat Pembahasan
a = 1 (> 0), jadi parabola membuka ke atas (memiliki minimum).
x-vertex = −b / (2a) = −(−6) / 2 = 3.
y-vertex = f(3) = (3)2 − 6(3) + 5 = 9 − 18 + 5 = −4.
Vertex: (3, −4).
Range: Semua y ≥ −4 (atau [−4, ∞)).
Review 4: Sistem Persamaan Linear (3 Variabel)
Soal: Selesaikan sistem: x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2.
🔍 Lihat Pembahasan
Jumlahkan Persamaan 1 & 2: (x+y+z) + (2x−y+z) = 6+3 → 3x + 2z = 9 (Pers. A)
Jumlahkan Persamaan 2 & 3: (2x−y+z) + (x+2y−z) = 3+2 → 3x + y = 5 → y = 5 − 3x.
Substitusi y ke Persamaan 1: x + (5 − 3x) + z = 6 → −2x + z = 1 → z = 2x + 1.
Substitusi z ke Pers. A: 3x + 2(2x + 1) = 9 → 7x + 2 = 9 → 7x = 7 → x = 1.
Maka: z = 2(1) + 1 = 3. Dan y = 5 − 3(1) = 2.
Solusi: x = 1, y = 2, z = 3.
Review 5: Sistem Nonlinear (Substitusi)
Soal: Selesaikan sistem: y = x2 dan y = 2x + 3.
🔍 Lihat Pembahasan
Substitusi y: x2 = 2x + 3 → x2 − 2x − 3 = 0.
Faktorkan: (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 atau x = −1.
Jika x = 3, y = (3)2 = 9.
Jika x = −1, y = (−1)2 = 1.
Solusi: Titik potongnya adalah (3, 9) dan (−1, 1).
Review 6: Aplikasi Ekuilibrium Pasar
Soal: Fungsi permintaan: p = 100 − 2q. Fungsi penawaran: p = 20 + 3q. Cari titik ekuilibrium (q, p).
🔍 Lihat Pembahasan
Ekuilibrium terjadi saat Permintaan = Penawaran:
100 − 2q = 20 + 3q
80 = 5q → q = 16 (Quantity ekuilibrium).
Substitusi q ke salah satu fungsi: p = 100 − 2(16) = 100 − 32 = 68 (Price ekuilibrium).
Titik Ekuilibrium: (16, 68).
Review 7: Aplikasi Break-Even Point (BEP)
Soal: Sebuah perusahaan menjual produk seharga Rp 50.000/unit. Biaya tetap Rp 20.000.000/bulan dan biaya variabel Rp 30.000/unit. Berapa unit yang harus dijual untuk BEP? Berapa laba jika terjual 1.500 unit?
🔍 Lihat Pembahasan
BEP: TR = TC → 50.000q = 30.000q + 20.000.000 → 20.000q = 20.000.000 → q = 1.000 unit.
Laba pada 1.500 unit:
TR = 50.000 × 1.500 = 75.000.000.
TC = 30.000 × 1.500 + 20.000.000 = 45.000.000 + 20.000.000 = 65.000.000.
Laba = TR − TC = 75.000.000 − 65.000.000 = Rp 10.000.000.
Review 8: Fungsi Linear (Depresiasi)
Soal: Sebuah mesin dibeli seharga Rp 120.000.000. Setelah 10 tahun, nilai residunya Rp 20.000.000. Tentukan fungsi nilai V(t) dan nilai mesin pada tahun ke-4.
🔍 Lihat Pembahasan
Titik 1: (0, 120.000.000). Titik 2: (10, 20.000.000).
Slope (m) = (20.000.000 − 120.000.000) / (10 − 0) = −10.000.000.
Fungsi: V(t) = −10.000.000t + 120.000.000.
Nilai tahun ke-4: V(4) = −10.000.000(4) + 120.000.000 = −40.000.000 + 120.000.000 = Rp 80.000.000.
🎓 Catatan Penutup: Penguasaan garis, parabola, dan sistem persamaan adalah tulang punggung dari analisis kuantitatif bisnis. Dari menghitung BEP hingga memprediksi ekuilibrium pasar, alat-alat ini memungkinkan Anda membuat keputusan berbasis data, bukan sekadar intuisi. Gunakan modul ini sebagai referensi cepat saat menyusun materi video kuliah atau merancang strategi operasional aurinoworks.com.

Module 04 – Lines, Parabolas & Systems

Mencari Titik Temu & Pertumbuhan Bisnis

Kode Mata Kuliah: MNJ104
Topik: Sistem Persamaan, Fungsi Kuadrat, Eksponensial
Referensi: Haeussler, Chapter 3 & 4

Sesi ini mengajarkan cara menemukan solusi saat dua kekuatan bertemu (Permintaan vs Penawaran) dan mengenalkan model pertumbuhan yang tidak linear.

1. Garis Linear: Kemiringan adalah Kunci

Dalam ekonomi, Slope (m) menentukan sensitivitas pasar terhadap harga:

  • Slope Positif (Supply): Produsen semangat menambah barang jika harga naik.
  • Slope Negatif (Demand): Konsumen mengurangi belanja jika harga naik.

Contoh: Jika Demand $Q = 100 – 2P$, maka setiap kenaikan harga $1 akan menurunkan permintaan sebesar 2 unit.

2. Equilibrium & Break-Even (The Money Shot)

Dua kondisi di mana dua fungsi linear bertemu untuk menghasilkan keputusan bisnis:

Market Equilibrium

Harga pasar yang disepakati.

Qdemand = Qsupply
Break-Even Point

Kondisi tidak untung/rugi.

Total Revenue = Total Cost

📉 Case: Menghitung Titik Temu Pasar

Soal: Cari keseimbangan jika $P_D = -2Q + 100$ dan $P_S = 0.5Q + 25$

Gambar supply and demand curve equilibrium diagram
1. Set PD = PS
2. -2Q + 100 = 0.5Q + 25
3. 75 = 2.5Q -> Q = 30
4. P = 0.5(30) + 25 -> P = 40

3. Fungsi Kuadrat (Parabolas)

Dalam bisnis, fungsi kuadrat memodelkan titik jenuh. Keuntungan tidak naik selamanya, akan ada titik puncak sebelum turun kembali.

Vertex Formula:
x = -b / 2a

Studi Kasus: Maksimalisasi Profit

Fungsi profit: P(x) = -2x² + 120x – 800

  1. Identifikasi: a = -2, b = 120. Karena a negatif, kurva membuka ke bawah (Mencari Maksimum).
  2. Hitung x (Unit): x = -120 / (2 * -2) = 30 Unit.
  3. Hitung Profit: P(30) = -2(30)² + 120(30) – 800 = 1.000.

4. Eksponensial & Logaritma (Growth)

Bisnis tumbuh secara “Compounding”. Eksponen menghitung hasil, Logaritma menghitung waktu.

image
  • Eksponensial (bx): Berapa nilai aset saya 10 tahun lagi?
  • Logaritma (log x): Berapa tahun lagi investasi saya menjadi dua kali lipat?

🎯 Quiz: Analisis Biaya Minimum

Fungsi biaya: $TC = 2x^2 – 80x + 1000$. Berapa unit (x) agar biaya paling rendah?

👁️ Lihat Solusi

x = -b / 2a
x = -(-80) / (2 * 2) = 80 / 4 = 20 Unit.

Referensi: Haeussler, Chapter 3 & 4. Dikembangkan bersama Google Gemini & ChatGPT.
#BEP #MarketEquilibrium #SupplyDemand #FungsiKuadrat #Eksponensial #Logaritma
Module 03 – Functions & Graphs
MAT BIS
Module 05 – Mathematics of Finance

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *