Module 13 – Integration
Dari Marjinal Kembali ke Total (Akumulasi)
| Kode Mata Kuliah | : MNJ104 |
| Topik | : Integral Tak Tentu, Integral Tentu, & Surplus Konsumen |
| Referensi | : Haeussler, Chapter 14 |
Logika Manajemen: Bayangkan Anda hanya memiliki data “biaya tambahan per unit” (Marjinal), tetapi Boss Anda meminta laporan “Total Biaya Produksi”. Bagaimana caranya? Kita menggunakan Integral. Ini adalah alat untuk menyusun kembali kepingan-kepingan data marjinal menjadi satu gambar utuh (Total).
1. Integral Tak Tentu (Mencari Fungsi Total)
Integral menaikkan pangkat variabel x. Jangan lupa menambahkan + C, yang dalam bisnis mewakili Biaya Tetap (Fixed Cost) atau modal awal.
∫ xn dx = (xn+1 / (n+1)) + C
Divisi produksi melaporkan bahwa Biaya Marjinal (MC) adalah 3x2 + 4x. Diketahui Biaya Tetap (listrik, sewa, dll) adalah Rp 100. Tentukan rumus Biaya Total (C)!
Langkah Penyelesaian:
- Integralkan fungsi MC:
∫ (3x2 + 4x) dx = 3(x3/3) + 4(x2/2) + C - Sederhanakan:
C(x) = x3 + 2x2 + C - Masukkan Biaya Tetap (C = 100):
C(x) = x3 + 2x2 + 100
Sekarang kita punya rumus sakti untuk menghitung total biaya di level produksi berapapun!
2. Integral Tentu (Menghitung Nilai Pasti)
Jika kita ingin menghitung akumulasi nilai dari titik A ke titik B (misal: total profit dari tahun ke-1 sampai ke-3), kita gunakan Integral Tentu.
Hasil Integrasi dimasukkan Batas Atas dikurangi Batas Bawah.
[F(x)] dari a ke b = F(b) – F(a)
Hitung ∫ dengan batas 1 sampai 3 untuk fungsi (2x) dx.
Langkah:
- Integralkan 2x → Hasilnya x2.
- Masukkan Batas Atas (3): (3)2 = 9.
- Masukkan Batas Bawah (1): (1)2 = 1.
- Selisih: 9 – 1 = 8.
3. Aplikasi Utama: Surplus Konsumen
Ini adalah materi favorit di Ekonomi Manajerial. Surplus Konsumen adalah “keuntungan psikologis” pembeli karena harga pasar lebih rendah dari harga yang rela mereka bayar.
Fungsi Permintaan: P = 100 – 2Q.
Harga Pasar saat ini: P = 60.
Hitung Surplus Konsumennya!
Langkah 1: Cari Kuantitas Keseimbangan (Q*)
Saat harga 60, berapa barang yang dibeli?
60 = 100 – 2Q → 2Q = 40 → Q = 20.
Langkah 2: Susun Integral Surplus
Rumus: ∫ dari 0 sampai 20 untuk (Fungsi Permintaan – Harga Pasar) dQ
∫ (100 – 2Q – 60) dQ
∫ (40 – 2Q) dQ
Langkah 3: Eksekusi Hitungan
Integralkan: [40Q – Q2]
Masukkan Batas Atas (20): 40(20) – (20)2 = 800 – 400 = 400.
Masukkan Batas Bawah (0): 0.
Hasil Akhir: Surplus Konsumen = 400.
Artinya: Total kepuasan “gratis” yang dinikmati seluruh konsumen bernilai 400 satuan uang.
4. Teknik Substitusi (Untuk Fungsi Rumit)
Terkadang fungsi yang diintegralkan terlalu rumit (misalnya ada pangkat di dalam kurung). Kita gunakan pemisalan u untuk menyederhanakannya.
Selesaikan ∫ 2x(x2 + 1)3 dx.
Trik Pemisalan:
- Pilih bagian yang rumit jadi u: u = x2 + 1.
- Turunkan u untuk dapat du: du/dx = 2x → du = 2x dx.
- Ganti soal dengan u: ∫ u3 du. (Lihat! 2x dx sudah berubah jadi du).
- Integralkan u: (u4 / 4) + C.
- Kembalikan ke x: ((x2 + 1)4 / 4) + C.
#Calculus #ConsumerSurplus #ManagerialEconomics #MNJ104