Module 11 – Advanced Differentiation

Fungsi Transenden, Elastisitas, & Turunan Tingkat Tinggi

Kode Mata Kuliah	: MNJ104
Topik	: Logaritma, Eksponensial, Elastisitas, & Higher-Order
Referensi	: Haeussler, Chapter 12

Tidak semua fenomena bisnis berjalan linear atau polinomial. Pertumbuhan majemuk, peluruhan aset, dan elastisitas harga membutuhkan jenis fungsi yang lebih canggih: Eksponensial dan Logaritma. Di modul ini, kita melengkapi “senjata” kalkulus kita untuk model ekonomi yang dinamis.

1. Turunan Fungsi Transenden

Fungsi eksponensial (e^x) dan logaritma natural (ln x) adalah basis dari model pertumbuhan kontinu (Compounding Interest).

Logaritma Natural	Eksponensial Natural
d/dx (ln u) = (1/u) ⋅ u’	d/dx (e^u) = e^u ⋅ u’

Contoh 1 (Chain Rule pada Logaritma):
Tentukan y’ jika y = ln(x² + 1).

Solusi:

Misal u = x² + 1, maka u’ = 2x.
Rumus: y’ = (1/u) ⋅ u’
Hasil: y’ = (1 / (x² + 1)) ⋅ 2x = 2x / (x² + 1).

2. Elastisitas Permintaan (Elasticity of Demand)

Salah satu aplikasi terpenting kalkulus dalam ekonomi. Elastisitas mengukur persentase perubahan permintaan akibat persentase perubahan harga (Haeussler Sec 12.4).

Rumus Elastisitas Titik (η):
η = (p/q) ⋅ (dq/dp)

Jika |η| > 1: Elastis (Peka harga).
Jika |η| < 1: Inelastis (Tidak peka harga).

Contoh 2:
Fungsi permintaan q = 100 – 2p. Tentukan elastisitas saat harga p = 10.

Langkah Pengerjaan:

Cari q saat p=10: q = 100 – 2(10) = 80.
Cari turunan dq/dp: Turunan (100 – 2p) adalah -2.
Hitung η: (10 / 80) ⋅ (-2) = (1/8) ⋅ (-2) = -0.25.
Interpretasi: Karena |-0.25| < 1, permintaan bersifat Inelastis. Kenaikan harga 1% hanya menurunkan permintaan 0.25%.

3. Diferensiasi Implisit

Terkadang y tidak ditulis secara eksplisit sebagai f(x), misalnya pada persamaan lingkaran x² + y² = 25. Kita menurunkannya kedua sisi terhadap x (Haeussler Sec 12.5).

Teknik Dasar:
Setiap kali menurunkan suku yang mengandung y, kalikan hasilnya dengan y’ (atau dy/dx).

3. Diferensiasi Implisit (Implicit Differentiation)

Biasanya kita menjumpai fungsi dalam bentuk eksplisit: y = f(x). Namun, bagaimana jika x dan y bercampur aduk dalam satu persamaan, seperti pada persamaan lingkaran x² + y² = 25?

Kita tidak perlu mengubahnya menjadi y = … (yang seringkali sulit). Kita gunakan metode Diferensiasi Implisit (Haeussler Sec 12.5).

Aturan Emas:
Setiap kali Anda menurunkan suku yang mengandung variabel y terhadap x, Anda wajib mengalikan hasilnya dengan y’ (atau dy/dx).

d/dx [ f(y) ] = f'(y) ⋅ y’

Contoh Step-by-Step:
Tentukan dy/dx dari persamaan x² + y² = 25.

Langkah Pengerjaan:

Turunkan kedua ruas terhadap x:
d/dx(x²) + d/dx(y²) = d/dx(25)
Terapkan Aturan Emas:
- Turunan x² adalah 2x.
- Turunan y² adalah 2y ⋅ y’ (Ingat y’).
- Turunan 25 adalah 0.
Hasil sementara: 2x + 2y ⋅ y’ = 0
Isolasi suku yang mengandung y’:
Pindahkan 2x ke ruas kanan:
2y ⋅ y’ = -2x
Selesaikan untuk y’:
Bagi kedua ruas dengan 2y:
y’ = -2x / 2y
y’ = -x / y

Insight: Hasil akhir masih mengandung y, yang wajar untuk fungsi implisit. Ini berarti kemiringan garis tangen bergantung pada posisi koordinat (x,y) sekaligus.

4. Turunan Tingkat Tinggi (Higher-Order)

Turunan kedua (f”) mengukur kelengkungan grafik (Concavity) atau laju perubahan dari laju perubahan (percepatan) (Haeussler Sec 12.7).

Contoh 3 (Mencari f”):
Jika f(x) = x³ – 5x² + x.

Solusi:

Turunan Pertama (f’): 3x² – 10x + 1.
Turunan Kedua (f”): 6x – 10.
Turunan Ketiga (f”’): 6.

Referensi: Haeussler, Chapter 12. Disusun secara eksklusif untuk AurinoWorks.
#Calculus #AdvancedDifferentiation #Elasticity #Logarithms #MNJ104

Module 10 – Differentiation

MAT BIS

Module 12 – Curve Sketching