Module 12 – Curve Sketching
Visualisasi Perilaku Fungsi & Optimasi
| Kode Mata Kuliah | : MNJ104 |
| Topik | : Monotonisitas, Ekstrem Relatif, Kecekungan, & Asimtot |
| Referensi | : Haeussler, Chapter 13 |
Seorang manajer tidak hanya melihat angka, tetapi tren. Apakah profit sedang naik (increasing) atau turun (decreasing)? Apakah pertumbuhannya melambat (concave down)? Di modul ini, kita menggunakan turunan pertama dan kedua untuk melukis “wajah” fungsi tanpa perlu menghitung ratusan titik.
1. Uji Turunan Pertama (First-Derivative Test)
Turunan pertama f'(x) memberitahu kita di mana fungsi naik atau turun (Haeussler Sec 13.1).
- Jika f'(x) > 0: Fungsi Naik (Increasing).
- Jika f'(x) < 0: Fungsi Turun (Decreasing).
- Jika f'(x) = 0: Titik Kritis (Calon Puncak/Lembah).
Contoh 1:
Tentukan interval naik/turun untuk f(x) = x2 – 4x + 3.
Analisis:
Tentukan interval naik/turun untuk f(x) = x2 – 4x + 3.
Analisis:
- Cari f'(x): 2x – 4.
- Titik Kritis (f'(x)=0): 2x – 4 = 0 → x = 2.
- Uji Interval:
- Untuk x < 2 (misal x=0): f'(0) = -4 (Negatif) → Turun.
- Untuk x > 2 (misal x=3): f'(3) = 2 (Positif) → Naik.
2. Kecekungan & Titik Belok (Concavity)
Turunan kedua f”(x) memberitahu kita bentuk lengkungan kurva (Haeussler Sec 13.2).
- Jika f”(x) > 0: Cekung ke Atas (Concave Up / Senyum).
- Jika f”(x) < 0: Cekung ke Bawah (Concave Down / Sedih).
- Jika f”(x) berubah tanda: Titik Belok (Inflection Point).
Contoh 2 (Point of Inflection):
Tentukan titik belok dari f(x) = x3.
Solusi:
Tentukan titik belok dari f(x) = x3.
Solusi:
- f'(x) = 3x2.
- f”(x) = 6x.
- Set f”(x) = 0 → 6x = 0 → x = 0.
- Uji tanda f”(x):
- x < 0 (negatif) → Cekung Bawah.
- x > 0 (positif) → Cekung Atas.
- Kesimpulan: x = 0 adalah Titik Belok.
3. Asimtot (Batas Tak Terjangkau)
Garis yang didekati kurva tapi tidak pernah disentuh. Penting untuk analisis biaya rata-rata (Haeussler Sec 13.3).
Jenis Asimtot:
- Vertikal: Saat penyebut fungsi rasional bernilai nol (x → c, f(x) → ∞).
- Horizontal: Perilaku fungsi saat x → ∞ (Limit Tak Hingga).
4. Strategi Menggambar Grafik (Summary)
Untuk menggambar grafik fungsi yang kompleks, ikuti prosedur standar ini:
- Tentukan Domain dan Intersep (sumbu x & y).
- Cari Asimtot (jika ada).
- Analisis f'(x) untuk mencari interval Naik/Turun dan Titik Ekstrem.
- Analisis f”(x) untuk mencari Kecekungan dan Titik Belok.
- Plot titik-titik kunci tersebut dan hubungkan dengan kurva halus.
Referensi: Haeussler, Chapter 13. Disusun secara eksklusif untuk AurinoWorks.
#CurveSketching #Concavity #Optimization #Asymptotes #MNJ104
#CurveSketching #Concavity #Optimization #Asymptotes #MNJ104