Module 10: Differentiation
Konsep Turunan, Aturan Diferensiasi, dan Aplikasinya dalam Analisis Marginal Bisnis. Materi LEAN dengan visualisasi SVG native.
🎥 Video Kuliah Pendukung
11.1 Konsep Dasar Turunan (The Derivative)
Turunan mengukur laju perubahan sesaat (instantaneous rate of change) dari suatu fungsi. Secara geometris, ini adalah kemiringan (slope) garis singgung pada kurva di titik tertentu, yang diperoleh dari limit hasil bagi selisih (difference quotient).
f'(x) = limh→0 [f(x + h) − f(x)] / h
📌 Contoh Kasus UMKM (Pendekatan Biaya Marginal):
Fungsi biaya total: C(q) = q2 + 50q + 1000.
Untuk mencari biaya marginal tepat di q = 10, kita gunakan limit:
[C(10 + h) − C(10)] / h = [(10+h)2 + 50(10+h) + 1000 − 1600] / h
= [100 + 20h + h2 + 500 + 50h + 1000 − 1600] / h = (70h + h2) / h = 70 + h.
Saat h → 0, hasilnya 70.
Artinya, memproduksi unit ke-11 akan menambah biaya sekitar Rp 70.000 (jika satuan dalam ratusan ribu).
Fungsi biaya total: C(q) = q2 + 50q + 1000.
Untuk mencari biaya marginal tepat di q = 10, kita gunakan limit:
[C(10 + h) − C(10)] / h = [(10+h)2 + 50(10+h) + 1000 − 1600] / h
= [100 + 20h + h2 + 500 + 50h + 1000 − 1600] / h = (70h + h2) / h = 70 + h.
Saat h → 0, hasilnya 70.
Artinya, memproduksi unit ke-11 akan menambah biaya sekitar Rp 70.000 (jika satuan dalam ratusan ribu).
11.2 Aturan Dasar Diferensiasi
Menghitung turunan menggunakan limit definisi sangat panjang. Aturan dasar memungkinkan kita menurunkannya secara langsung dan efisien.
1. Konstanta: d/dx(c) = 0
2. Pangkat: d/dx(xn) = n · xn−1
3. Konstanta × Fungsi: d/dx(c · f(x)) = c · f'(x)
4. Jumlah/Selisih: d/dx(f(x) ± g(x)) = f'(x) ± g'(x)
2. Pangkat: d/dx(xn) = n · xn−1
3. Konstanta × Fungsi: d/dx(c · f(x)) = c · f'(x)
4. Jumlah/Selisih: d/dx(f(x) ± g(x)) = f'(x) ± g'(x)
📌 Contoh Kasus E-commerce (Fungsi Pendapatan):
Fungsi pendapatan: R(q) = 150q − 0,5q2.
Turunan (Pendapatan Marginal): R'(q) = 150(1) − 0,5(2q1) = 150 − q.
Aturan pangkat dan konstanta mengubah proses yang rumit menjadi perhitungan aljabar sederhana dalam satu langkah.
Fungsi pendapatan: R(q) = 150q − 0,5q2.
Turunan (Pendapatan Marginal): R'(q) = 150(1) − 0,5(2q1) = 150 − q.
Aturan pangkat dan konstanta mengubah proses yang rumit menjadi perhitungan aljabar sederhana dalam satu langkah.
11.3 Turunan sebagai Laju Perubahan (Aplikasi Marginal)
Dalam bisnis, turunan pertama dari fungsi biaya, pendapatan, atau laba disebut fungsi marginal. Ini memperkirakan perubahan pada variabel dependen saat variabel independen bertambah satu unit.
Biaya Marginal (MC) = C'(q)
Pendapatan Marginal (MR) = R'(q)
Laju Perubahan Persentase = [f'(x) / f(x)] × 100%
Pendapatan Marginal (MR) = R'(q)
Laju Perubahan Persentase = [f'(x) / f(x)] × 100%
📌 Contoh Kasus Riset Bisnis (Laju Pertumbuhan Portofolio):
Nilai portofolio persiapan pensiun 2027: V(t) = 500e0,08t (dalam jutaan).
Laju perubahan nilai terhadap waktu: V'(t) = 500 × 0,08e0,08t = 40e0,08t.
Pada tahun ke-3 (t=3): V'(3) = 40e0,24 ≈ 50,85.
Ini berarti pada tahun ke-3, portofolio Anda tumbuh dengan laju sekitar Rp 50,85 juta per tahun. Memahami laju ini krusial untuk menyesuaikan strategi investasi menjelang target tahun 2027.
Nilai portofolio persiapan pensiun 2027: V(t) = 500e0,08t (dalam jutaan).
Laju perubahan nilai terhadap waktu: V'(t) = 500 × 0,08e0,08t = 40e0,08t.
Pada tahun ke-3 (t=3): V'(3) = 40e0,24 ≈ 50,85.
Ini berarti pada tahun ke-3, portofolio Anda tumbuh dengan laju sekitar Rp 50,85 juta per tahun. Memahami laju ini krusial untuk menyesuaikan strategi investasi menjelang target tahun 2027.
11.4 Aturan Perkalian & Pembagian
Ketika fungsi merupakan hasil kali atau hasil bagi dua fungsi yang bergantung pada variabel yang sama, kita gunakan aturan khusus ini.
Perkalian: [f(x)g(x)]’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Pembagian: [f(x)/g(x)]’ = [f'(x)g(x) − f(x)g'(x)] / [g(x)]2
Pembagian: [f(x)/g(x)]’ = [f'(x)g(x) − f(x)g'(x)] / [g(x)]2
📌 Contoh Kasus UMKM (Pendapatan dari Fungsi Permintaan):
Fungsi permintaan: p(q) = 200 / (q + 5). Pendapatan: R(q) = p(q) × q = 200q / (q + 5).
Gunakan aturan pembagian untuk R'(q):
R'(q) = [200(q + 5) − 200q(1)] / (q + 5)2 = [200q + 1000 − 200q] / (q + 5)2 = 1000 / (q + 5)2.
Pendapatan marginal selalu positif namun semakin mengecil (diminishing returns) seiring bertambahnya jumlah produksi q.
Fungsi permintaan: p(q) = 200 / (q + 5). Pendapatan: R(q) = p(q) × q = 200q / (q + 5).
Gunakan aturan pembagian untuk R'(q):
R'(q) = [200(q + 5) − 200q(1)] / (q + 5)2 = [200q + 1000 − 200q] / (q + 5)2 = 1000 / (q + 5)2.
Pendapatan marginal selalu positif namun semakin mengecil (diminishing returns) seiring bertambahnya jumlah produksi q.
11.5 Aturan Rantai (Chain Rule)
Digunakan untuk menurunkan fungsi komposisi (fungsi di dalam fungsi). Ini adalah aturan paling kuat dalam kalkulus bisnis.
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
📌 Contoh Kasus Perencanaan Pensiun 2027 (Bunga Majemuk Kontinu):
Nilai investasi: S(r) = P · ert. Misal P = 100, t = 3 tahun. S(r) = 100e3r.
Kita ingin tahu seberapa sensitif nilai akhir terhadap perubahan suku bunga r.
S'(r) = 100 · e3r · d/dr(3r) = 300e3r.
Jika r = 0,05 (5%), S'(0,05) = 300e0,15 ≈ 348,55.
Artinya, kenaikan suku bunga sebesar 1% (0,01) akan meningkatkan nilai akhir portofolio sekitar Rp 3,48 juta. Ini adalah “marginal-revenue product” dari suku bunga.
Nilai investasi: S(r) = P · ert. Misal P = 100, t = 3 tahun. S(r) = 100e3r.
Kita ingin tahu seberapa sensitif nilai akhir terhadap perubahan suku bunga r.
S'(r) = 100 · e3r · d/dr(3r) = 300e3r.
Jika r = 0,05 (5%), S'(0,05) = 300e0,15 ≈ 348,55.
Artinya, kenaikan suku bunga sebesar 1% (0,01) akan meningkatkan nilai akhir portofolio sekitar Rp 3,48 juta. Ini adalah “marginal-revenue product” dari suku bunga.
📝 Latihan Soal Pilihan (per Section)
Klik pada setiap soal untuk melihat jawaban dan pembahasan singkat.
Soal 1 (11.1): Gunakan definisi limit untuk mencari turunan f(x) = x2 + 3x.
Jawaban: 2x + 3
Pembahasan:
[f(x+h) − f(x)] / h = [(x+h)2 + 3(x+h) − (x2 + 3x)] / h
= [x2 + 2xh + h2 + 3x + 3h − x2 − 3x] / h
= [2xh + h2 + 3h] / h = 2x + h + 3.
Saat h → 0, hasilnya 2x + 3.
Pembahasan:
[f(x+h) − f(x)] / h = [(x+h)2 + 3(x+h) − (x2 + 3x)] / h
= [x2 + 2xh + h2 + 3x + 3h − x2 − 3x] / h
= [2xh + h2 + 3h] / h = 2x + h + 3.
Saat h → 0, hasilnya 2x + 3.
Soal 2 (11.2): Tentukan turunan dari y = 4x3 − 2x2 + 7.
Jawaban: 12x2 − 4x
Pembahasan: Gunakan aturan pangkat dan jumlah. Turunan 4x3 adalah 12x2, turunan −2x2 adalah −4x, dan turunan konstanta 7 adalah 0.
Pembahasan: Gunakan aturan pangkat dan jumlah. Turunan 4x3 adalah 12x2, turunan −2x2 adalah −4x, dan turunan konstanta 7 adalah 0.
Soal 3 (11.3): Jika fungsi biaya C(q) = 0,1q2 + 5q + 100, berapa biaya marginal saat q = 50?
Jawaban: 15
Pembahasan: C'(q) = 0,2q + 5. Substitusi q = 50: C'(50) = 0,2(50) + 5 = 10 + 5 = 15.
Pembahasan: C'(q) = 0,2q + 5. Substitusi q = 50: C'(50) = 0,2(50) + 5 = 10 + 5 = 15.
Soal 4 (11.4): Tentukan turunan dari y = (2x + 1)(x2 − 3).
Jawaban: 6x2 + 2x − 6
Pembahasan: Aturan perkalian: u = 2x+1 (u’ = 2), v = x2−3 (v’ = 2x).
y’ = u’v + uv’ = 2(x2 − 3) + (2x + 1)(2x) = 2x2 − 6 + 4x2 + 2x = 6x2 + 2x − 6.
Pembahasan: Aturan perkalian: u = 2x+1 (u’ = 2), v = x2−3 (v’ = 2x).
y’ = u’v + uv’ = 2(x2 − 3) + (2x + 1)(2x) = 2x2 − 6 + 4x2 + 2x = 6x2 + 2x − 6.
Soal 5 (11.5): Tentukan turunan dari y = (3x2 + 1)4.
Jawaban: 24x(3x2 + 1)3
Pembahasan: Aturan rantai (Power Rule): y’ = 4(3x2 + 1)3 · d/dx(3x2 + 1) = 4(3x2 + 1)3 · (6x) = 24x(3x2 + 1)3.
Pembahasan: Aturan rantai (Power Rule): y’ = 4(3x2 + 1)3 · d/dx(3x2 + 1) = 4(3x2 + 1)3 · (6x) = 24x(3x2 + 1)3.
🎯 Chapter 11 Review Problems (Komprehensif)
Soal-soal kunci untuk menguji penguasaan konsep diferensiasi. Klik untuk melihat pembahasan langkah demi langkah.
Review 1: Definisi Turunan (Difference Quotient)
Soal: Jika f(x) = 3x2 − 2x, hitung limh→0 [f(x + h) − f(x)] / h.
🔍 Lihat Pembahasan
f(x+h) = 3(x+h)2 − 2(x+h) = 3x2 + 6xh + 3h2 − 2x − 2h.
f(x+h) − f(x) = 6xh + 3h2 − 2h.
Bagi dengan h: (6xh + 3h2 − 2h) / h = 6x + 3h − 2.
Saat h → 0, hasilnya 6x − 2.
f(x+h) − f(x) = 6xh + 3h2 − 2h.
Bagi dengan h: (6xh + 3h2 − 2h) / h = 6x + 3h − 2.
Saat h → 0, hasilnya 6x − 2.
Review 2: Aturan Dasar & Pangkat
Soal: Tentukan dy/dx jika y = 5x4 − 3/x2 + √x.
🔍 Lihat Pembahasan
Tulis ulang: y = 5x4 − 3x−2 + x1/2.
dy/dx = 5(4x3) − 3(−2x−3) + (1/2)x−1/2
= 20x3 + 6/x3 + 1/(2√x).
dy/dx = 5(4x3) − 3(−2x−3) + (1/2)x−1/2
= 20x3 + 6/x3 + 1/(2√x).
Review 3: Aturan Perkalian
Soal: Jika f(x) = (x3 + 2x)(4x − 1), cari f'(x).
🔍 Lihat Pembahasan
u = x3 + 2x → u’ = 3x2 + 2
v = 4x − 1 → v’ = 4
f'(x) = (3x2 + 2)(4x − 1) + (x3 + 2x)(4)
= 12x3 − 3x2 + 8x − 2 + 4x3 + 8x
= 16x3 − 3x2 + 16x − 2.
v = 4x − 1 → v’ = 4
f'(x) = (3x2 + 2)(4x − 1) + (x3 + 2x)(4)
= 12x3 − 3x2 + 8x − 2 + 4x3 + 8x
= 16x3 − 3x2 + 16x − 2.
Review 4: Aturan Pembagian
Soal: Tentukan turunan dari y = (2x + 3) / (x2 + 1).
🔍 Lihat Pembahasan
u = 2x + 3 → u’ = 2
v = x2 + 1 → v’ = 2x
y’ = [2(x2 + 1) − (2x + 3)(2x)] / (x2 + 1)2
= [2x2 + 2 − 4x2 − 6x] / (x2 + 1)2
= (−2x2 − 6x + 2) / (x2 + 1)2.
v = x2 + 1 → v’ = 2x
y’ = [2(x2 + 1) − (2x + 3)(2x)] / (x2 + 1)2
= [2x2 + 2 − 4x2 − 6x] / (x2 + 1)2
= (−2x2 − 6x + 2) / (x2 + 1)2.
Review 5: Aturan Rantai (Chain Rule)
Soal: Jika y = (5x2 − 3)6, cari dy/dx.
🔍 Lihat Pembahasan
Fungsi luar: u6 → turunan: 6u5
Fungsi dalam: 5x2 − 3 → turunan: 10x
dy/dx = 6(5x2 − 3)5 · (10x) = 60x(5x2 − 3)5.
Fungsi dalam: 5x2 − 3 → turunan: 10x
dy/dx = 6(5x2 − 3)5 · (10x) = 60x(5x2 − 3)5.
Review 6: Aplikasi Laju Perubahan (Marginal)
Soal: Fungsi permintaan suatu produk adalah p = 100 − 0,5q. Cari fungsi pendapatan marginal (MR) dan nilainya saat q = 40.
🔍 Lihat Pembahasan
Pendapatan Total: R(q) = p × q = (100 − 0,5q)q = 100q − 0,5q2.
Pendapatan Marginal: MR = R'(q) = 100 − q.
Saat q = 40: MR = 100 − 40 = 60.
Menjual unit ke-41 akan menambah pendapatan sekitar 60 satuan mata uang.
Pendapatan Marginal: MR = R'(q) = 100 − q.
Saat q = 40: MR = 100 − 40 = 60.
Menjual unit ke-41 akan menambah pendapatan sekitar 60 satuan mata uang.
Review 7: Laju Perubahan Persentase
Soal: Jika fungsi biaya adalah C(q) = q2 + 10q + 50, hitung laju perubahan persentase biaya terhadap q saat q = 10.
🔍 Lihat Pembahasan
C'(q) = 2q + 10. Saat q = 10, C'(10) = 30.
C(10) = 100 + 100 + 50 = 250.
Laju perubahan relatif = C'(10) / C(10) = 30 / 250 = 0,12.
Laju perubahan persentase = 0,12 × 100% = 12%.
Setiap penambahan 1 unit produksi pada level q=10 akan meningkatkan total biaya sebesar 12%.
C(10) = 100 + 100 + 50 = 250.
Laju perubahan relatif = C'(10) / C(10) = 30 / 250 = 0,12.
Laju perubahan persentase = 0,12 × 100% = 12%.
Setiap penambahan 1 unit produksi pada level q=10 akan meningkatkan total biaya sebesar 12%.
Review 8: Turunan Fungsi Akar & Pecahan
Soal: Tentukan turunan dari f(x) = √(3x + 1) / x.
🔍 Lihat Pembahasan
Gunakan aturan pembagian. u = (3x+1)1/2 → u’ = (1/2)(3x+1)−1/2(3) = 3 / [2√(3x+1)].
v = x → v’ = 1.
f'(x) = { [3 / (2√(3x+1))] · x − √(3x+1) · 1 } / x2
Samakan penyebut di pembilang: { [3x − 2(3x+1)] / [2√(3x+1)] } / x2
= (−3x − 2) / [2x2√(3x+1)].
v = x → v’ = 1.
f'(x) = { [3 / (2√(3x+1))] · x − √(3x+1) · 1 } / x2
Samakan penyebut di pembilang: { [3x − 2(3x+1)] / [2√(3x+1)] } / x2
= (−3x − 2) / [2x2√(3x+1)].
🎓 Catatan Penutup: Diferensiasi adalah jantung dari analisis optimasi bisnis. Dari menghitung biaya marginal hingga memproyeksikan sensitivitas portofolio pensiun Anda terhadap perubahan suku bunga, turunan memberikan presisi yang tidak bisa ditawarkan oleh aljabar dasar. Gunakan modul ini sebagai referensi cepat saat menyusun materi video kuliah atau mengevaluasi strategi operasional aurinoworks.com.