Module 10 – Differentiation

Mesin Analisis Marjinal & Laju Perubahan

Kode Mata Kuliah	: MNJ104
Topik	: Turunan, Power Rule, Chain Rule, & Marjinal
Referensi	: Haeussler, Chapter 11

Inilah jantung dari kalkulus bisnis. Turunan (Derivative) bukan sekadar rumus matematika, melainkan alat untuk mengukur Laju Perubahan Sesaat (Instantaneous Rate of Change). Dalam bisnis, ini adalah satu-satunya cara presisi untuk menghitung Biaya Marjinal dan Profit Maksimal.

1. Definisi Formal Turunan

Turunan fungsi f di titik x, dinotasikan f'(x), didefinisikan sebagai limit dari hasil bagi perbedaan (Haeussler Sec 11.1).

f'(x) = lim _{h → 0} [ f(x + h) – f(x) ] / h

Interpretasi Geometris: Turunan adalah kemiringan (slope) garis tangen pada kurva di titik tersebut.

2. Aturan Dasar (Power Rule)

Kita menggunakan aturan jalan pintas yang telah dibuktikan (Haeussler Sec 11.2) agar perhitungan lebih efisien.

Rumus Power Rule:
d/dx (xⁿ) = n ⋅ x^n-1

Contoh 1: Cari turunan dari f(x) = 2x³ – 5x + 100.

Solusi Step-by-Step:

Turunan 2x³ → 2 ⋅ (3x²) = 6x²
Turunan -5x → -5 ⋅ (1x⁰) = -5
Turunan 100 → 0 (Konstanta hilang)
Hasil Akhir: f'(x) = 6x² – 5

3. Aplikasi Bisnis: Analisis Marjinal

Dalam ekonomi, turunan dari fungsi total adalah fungsi marjinal (Haeussler Sec 11.3). Ini memprediksi biaya untuk “satu unit berikutnya”.

Contoh 2 (Marginal Cost):
Fungsi biaya: C(x) = 100 + 20x + 0.5x². Berapa biaya marjinal saat x=10?

Solusi:

Cari turunan C'(x): 20 + 2(0.5x) = 20 + x.
Substitusi x = 10: 20 + 10 = 30.

Artinya: Biaya untuk memproduksi unit ke-11 diperkirakan sebesar 30.

4. Product & Quotient Rules

Digunakan saat fungsi merupakan perkalian atau pembagian dua fungsi lain (Haeussler Sec 11.4).

Product: (uv)’ = u’v + uv’
Quotient: (u/v)’ = (u’v – uv’) / v²

5. The Chain Rule (Aturan Rantai)

Bagaimana menurunkan fungsi di dalam fungsi, seperti y = (x² + 1)⁵? Kita gunakan Aturan Rantai (Haeussler Sec 11.5).

Rumus: dy/dx = (dy/du) ⋅ (du/dx)
“Turunkan fungsi luarnya, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalamnya.”

Contoh 3 (Chain Rule):
Tentukan y’ jika y = (3x² – 5)⁴.

Langkah Coba-Pikir-Tindak:

Misalkan: u = 3x² – 5. Maka y = u⁴.
Turunan Luar (dy/du): 4u³.
Turunan Dalam (du/dx): 6x.
Kalikan (Chain): (4u³) ⋅ (6x) = 24x(u)³.
Kembalikan u: y’ = 24x(3x² – 5)³.

Referensi: Haeussler, Chapter 11. Disusun secara eksklusif untuk AurinoWorks.
#Calculus #Differentiation #MarginalAnalysis #ChainRule #MNJ104

Module 09 – Limits & Continuity

MAT BIS

Module 11 – Advanced Differentiation