Module 01: Review of Basic Algebra
Fondasi Matematis untuk Riset Bisnis & Operasi — Edisi Lengkap dengan Latihan & Review Problems.
🎥 Video Pengantar: Review of Basic Algebra
Tonton video kuliah berikut untuk mendapatkan gambaran umum dan penjelasan visual mengenai konsep-konsep aljabar dasar yang akan dibahas dalam modul ini.
0.1 & 0.2 Himpunan Bilangan Real & Sifat-Sifatnya
Aljabar bisnis beroperasi pada Himpunan Bilangan Real. Pemahaman sifat-sifatnya mencegah kesalahan logika dalam pemodelan biaya dan pendapatan.
Sifat Distributif: a(b + c) = ab + ac
📌 Contoh Kasus UMKM:
Harga 1 kopi Rp25.000. Pelanggan membeli 3 kopi dengan diskon 20%.
Perhitungan distributif: 3 × (25.000 − 5.000) = 3 × 20.000 = Rp 60.000.
Harga 1 kopi Rp25.000. Pelanggan membeli 3 kopi dengan diskon 20%.
Perhitungan distributif: 3 × (25.000 − 5.000) = 3 × 20.000 = Rp 60.000.
0.3 Eksponen & Akar
Eksponen vital untuk memodelkan pertumbuhan majemuk (bunga, viralitas, inflasi).
Aturan dasar: xa · xb = xa+b dan (xa)b = xab
📌 Contoh Kasus E-commerce:
Traffic tumbuh 10% per bulan. Traffic awal = 1.000.
Traffic bulan ke-6 = 1.000 × (1,10)6 = 1.771 pengunjung.
Traffic tumbuh 10% per bulan. Traffic awal = 1.000.
Traffic bulan ke-6 = 1.000 × (1,10)6 = 1.771 pengunjung.
0.4 & 0.5 Operasi Aljabar & Pemfaktoran
Pemfaktoran krusial untuk mencari root persamaan, seperti titik impas (Break-Even Point).
Selisih Dua Kuadrat: x2 − a2 = (x + a)(x − a)
📌 Contoh Kasus Bisnis:
Profit: P(x) = −x2 + 100x − 1600 = 0
Faktorkan: −(x − 20)(x − 80) = 0 → x = 20 atau x = 80 (BEP di 2.000 & 8.000 unit).
Profit: P(x) = −x2 + 100x − 1600 = 0
Faktorkan: −(x − 20)(x − 80) = 0 → x = 20 atau x = 80 (BEP di 2.000 & 8.000 unit).
0.6 Pecahan, Persentase, & Rasionalisasi
Di bisnis, kita sering mengetahui total struk (termasuk pajak), bukan harga dasar.
Pajak dalam Total R = R × [ p / (100 + p) ]
📌 Contoh Kasus UMKM (PPN 11%):
Total struk = Rp 1.110.000 (sudah termasuk PPN 11%).
PPN = 1.110.000 × [11 / 111] = Rp 110.000.
Total struk = Rp 1.110.000 (sudah termasuk PPN 11%).
PPN = 1.110.000 × [11 / 111] = Rp 110.000.
0.7 & 0.8 Persamaan Linear & Kuadrat
Persamaan kuadrat memodelkan hubungan dengan titik balik (maksimum/minimum), seperti profit optimal.
Rumus Kuadrat: x = [−b ± √(b2 − 4ac)] / 2a
📌 Contoh Kasus Riset Bisnis:
Pendapatan: R(p) = −50p2 + 2000p
Akar: p = 0 atau p = 40 → Harga optimal p = 20 (Rp 20.000).
Pendapatan: R(p) = −50p2 + 2000p
Akar: p = 0 atau p = 40 → Harga optimal p = 20 (Rp 20.000).
📝 Latihan Soal Pilihan (per Section)
Kerjakan soal-soal berikut untuk menguji pemahaman. Klik pada setiap soal untuk melihat jawaban.
📘 Section 0.1 — Himpunan Bilangan Real
Soal 1: Apakah √13 sebuah bilangan bulat (integer)?
Jawaban: SALAH.
√13 ≈ 3,606… bukan bilangan bulat. √13 adalah bilangan irasional (tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan p/q).
√13 ≈ 3,606… bukan bilangan bulat. √13 adalah bilangan irasional (tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan p/q).
Soal 2: Apakah 2/7 bilangan rasional?
Jawaban: BENAR.
2/7 adalah pecahan dari dua bilangan bulat (p=2, q=7, q≠0), sehingga memenuhi definisi bilangan rasional.
2/7 adalah pecahan dari dua bilangan bulat (p=2, q=7, q≠0), sehingga memenuhi definisi bilangan rasional.
Soal 3: Apakah 0 bilangan rasional?
Jawaban: BENAR.
0 = 0/1, sehingga 0 adalah bilangan rasional. Setiap bilangan bulat adalah rasional.
0 = 0/1, sehingga 0 adalah bilangan rasional. Setiap bilangan bulat adalah rasional.
📘 Section 0.2 — Sifat Bilangan Real
Soal 4: Sederhanakan 2 + (−4)
Jawaban: −2
2 + (−4) = 2 − 4 = −2
2 + (−4) = 2 − 4 = −2
Soal 5: Hitung 5 × (−13)
Jawaban: −65
Positif × negatif = negatif. 5 × 13 = 65, jadi 5 × (−13) = −65.
Positif × negatif = negatif. 5 × 13 = 65, jadi 5 × (−13) = −65.
Soal 6: Sederhanakan (−2)(9)
Jawaban: −18
Negatif × positif = negatif. 2 × 9 = 18, jadi (−2)(9) = −18.
Negatif × positif = negatif. 2 × 9 = 18, jadi (−2)(9) = −18.
📘 Section 0.3 — Eksponen & Akar
Soal 7: Sederhanakan (−23)(−22)
Jawaban: 32
−23 = −8, −22 = −4
(−8)(−4) = 32 (negatif × negatif = positif)
−23 = −8, −22 = −4
(−8)(−4) = 32 (negatif × negatif = positif)
Soal 8: Evaluasi √25
Jawaban: 5
√25 adalah akar kuadrat utama (principal root) dari 25, yaitu 5 (bukan ±5).
√25 adalah akar kuadrat utama (principal root) dari 25, yaitu 5 (bukan ±5).
Soal 9: Evaluasi (49)−1/2
Jawaban: 1/7
(49)−1/2 = 1 / (49)1/2 = 1 / √49 = 1 / 7 = 1/7
(49)−1/2 = 1 / (49)1/2 = 1 / √49 = 1 / 7 = 1/7
📘 Section 0.4 — Operasi Aljabar
Soal 10: Sederhanakan (8x − 4y + 2) + (3x + 2y − 5)
Jawaban: 11x − 2y − 3
Gabungkan suku sejenis:
(8x + 3x) + (−4y + 2y) + (2 − 5) = 11x − 2y − 3
Gabungkan suku sejenis:
(8x + 3x) + (−4y + 2y) + (2 − 5) = 11x − 2y − 3
Soal 11: Kalikan (2x + 5)(3x − 2)
Jawaban: 6x2 + 11x − 10
Gunakan distribusi (FOIL):
= 2x·3x + 2x·(−2) + 5·3x + 5·(−2)
= 6x2 − 4x + 15x − 10 = 6x2 + 11x − 10
Gunakan distribusi (FOIL):
= 2x·3x + 2x·(−2) + 5·3x + 5·(−2)
= 6x2 − 4x + 15x − 10 = 6x2 + 11x − 10
Soal 12: Kalikan (x2 − 4)(3x2 + 2x − 1)
Jawaban: 3x4 + 2x3 − 13x2 − 8x + 4
Distribusikan:
= x2(3x2 + 2x − 1) − 4(3x2 + 2x − 1)
= 3x4 + 2x3 − x2 − 12x2 − 8x + 4
= 3x4 + 2x3 − 13x2 − 8x + 4
Distribusikan:
= x2(3x2 + 2x − 1) − 4(3x2 + 2x − 1)
= 3x4 + 2x3 − x2 − 12x2 − 8x + 4
= 3x4 + 2x3 − 13x2 − 8x + 4
📘 Section 0.5 — Pemfaktoran
Soal 13: Faktorkan 5bx + 5b
Jawaban: 5b(x + 1)
Faktor persekutuan: 5b
5bx + 5b = 5b(x + 1)
Faktor persekutuan: 5b
5bx + 5b = 5b(x + 1)
Soal 14: Faktorkan z2 − 49
Jawaban: (z + 7)(z − 7)
Ini adalah selisih dua kuadrat: z2 − 72 = (z + 7)(z − 7)
Ini adalah selisih dua kuadrat: z2 − 72 = (z + 7)(z − 7)
Soal 15: Faktorkan x2 − x − 6
Jawaban: (x − 3)(x + 2)
Cari dua bilangan yang hasil kalinya −6 dan jumlahnya −1: yaitu −3 dan +2.
x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
Cari dua bilangan yang hasil kalinya −6 dan jumlahnya −1: yaitu −3 dan +2.
x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
📘 Section 0.6 — Pecahan
Soal 16: Sederhanakan (x2 − 3x − 10) / (x2 − 4)
Jawaban: (x − 5) / (x − 2), untuk x ≠ −2
Faktorkan:
= (x − 5)(x + 2) / [(x − 2)(x + 2)]
Coret (x + 2): = (x − 5) / (x − 2)
Faktorkan:
= (x − 5)(x + 2) / [(x − 2)(x + 2)]
Coret (x + 2): = (x − 5) / (x − 2)
Soal 17: Sederhanakan [(x2+8x+12)/(x2+9x+18)] × [(x2−3x−10)/(x2−2x−15)]
Jawaban: (x + 2)2 / (x + 3)2
Faktorkan masing-masing:
= [(x+2)(x+6) / (x+3)(x+6)] × [(x−5)(x+2) / (x−5)(x+3)]
Coret faktor yang sama:
= [(x+2)/(x+3)] × [(x+2)/(x+3)] = (x + 2)2 / (x + 3)2
Faktorkan masing-masing:
= [(x+2)(x+6) / (x+3)(x+6)] × [(x−5)(x+2) / (x−5)(x+3)]
Coret faktor yang sama:
= [(x+2)/(x+3)] × [(x+2)/(x+3)] = (x + 2)2 / (x + 3)2
Soal 18: Rasionalisasi penyebut 1 / (a + √b)
Jawaban: (a − √b) / (a2 − b)
Kalikan dengan sekutu (a − √b) / (a − √b):
= (a − √b) / [(a + √b)(a − √b)]
= (a − √b) / (a2 − b)
Kalikan dengan sekutu (a − √b) / (a − √b):
= (a − √b) / [(a + √b)(a − √b)]
= (a − √b) / (a2 − b)
📘 Section 0.7 — Persamaan Linear
Soal 19: Selesaikan 5x − 3 = 9
Jawaban: x = 12/5 = 2,4
5x − 3 = 9
5x = 12
x = 12/5 = 2,4
5x − 3 = 9
5x = 12
x = 12/5 = 2,4
Soal 20: Selesaikan 7 + (4x − 9)/9 = (x − 2)/3
Jawaban: x = −60
Kalikan kedua ruas dengan 9 (LCD):
63 + 4x − 9 = 3(x − 2)
54 + 4x = 3x − 6
x = −60
Kalikan kedua ruas dengan 9 (LCD):
63 + 4x − 9 = 3(x − 2)
54 + 4x = 3x − 6
x = −60
Soal 21: Selesaikan 5/x = 25
Jawaban: x = 1/5
5/x = 25
5 = 25x
x = 5/25 = 1/5
5/x = 25
5 = 25x
x = 5/25 = 1/5
📘 Section 0.8 — Persamaan Kuadrat
Soal 22: Selesaikan x2 − 4x + 4 = 0
Jawaban: x = 2 (akar kembar)
Faktorkan: (x − 2)2 = 0
x = 2
Faktorkan: (x − 2)2 = 0
x = 2
Soal 23: Selesaikan x2 − 2x − 15 = 0
Jawaban: x = 5 atau x = −3
Faktorkan: (x − 5)(x + 3) = 0
x = 5 atau x = −3
Faktorkan: (x − 5)(x + 3) = 0
x = 5 atau x = −3
Soal 24: Selesaikan x2 − 4 = 0
Jawaban: x = ±2
Selisih dua kuadrat: (x − 2)(x + 2) = 0
x = 2 atau x = −2
Selisih dua kuadrat: (x − 2)(x + 2) = 0
x = 2 atau x = −2
🎯 Chapter 0 Review Problems (LENGKAP)
Sepuluh soal komprehensif untuk menguji penguasaan seluruh materi. Klik setiap soal untuk melihat pembahasan.
Review Problem 1: Eksponen Positif & Tanpa Akar
Soal: Tulis ulang 5√a / (5b3c2 · b4c3) tanpa akar dan hanya eksponen positif.
🔍 Lihat Pembahasan
Langkah 1: Ubah akar menjadi eksponen pecahan: √a = a1/2
Langkah 2: Sederhanakan penyebut: 5b3c2 · b4c3 = 5b7c5
Langkah 3: Bagi: (5a1/2) / (5b7c5) = a1/2 / (b7c5)
Langkah 4: Tulis dengan eksponen positif:
Jawaban: a1/2 · b−7 · c−5
Langkah 2: Sederhanakan penyebut: 5b3c2 · b4c3 = 5b7c5
Langkah 3: Bagi: (5a1/2) / (5b7c5) = a1/2 / (b7c5)
Langkah 4: Tulis dengan eksponen positif:
Jawaban: a1/2 · b−7 · c−5
Review Problem 2: Rasionalisasi Penyebut
Soal: Rasionalisasi penyebut dari √5 / (7 − √13).
🔍 Lihat Pembahasan
Langkah 1: Kalikan dengan sekutu (7 + √13) / (7 + √13):
= √5(7 + √13) / [(7 − √13)(7 + √13)]
Langkah 2: Penyebut menjadi selisih kuadrat: 72 − (√13)2 = 49 − 13 = 36
Langkah 3: Pembilang: 7√5 + √5·√13 = 7√5 + √65
Jawaban: (7√5 + √65) / 36
= √5(7 + √13) / [(7 − √13)(7 + √13)]
Langkah 2: Penyebut menjadi selisih kuadrat: 72 − (√13)2 = 49 − 13 = 36
Langkah 3: Pembilang: 7√5 + √5·√13 = 7√5 + √65
Jawaban: (7√5 + √65) / 36
Review Problem 3: Rasionalisasi Pembilang
Soal: Rasionalisasi pembilang dari (√(x+h) − √x) / h.
🔍 Lihat Pembahasan
Langkah 1: Kalikan dengan sekutu (√(x+h) + √x) / (√(x+h) + √x):
= [(√(x+h) − √x)(√(x+h) + √x)] / [h(√(x+h) + √x)]
Langkah 2: Pembilang menjadi selisih kuadrat: (x+h) − x = h
Langkah 3: Sederhanakan: h / [h(√(x+h) + √x)] = 1 / (√(x+h) + √x)
Jawaban: 1 / (√(x+h) + √x)
Catatan: Ini adalah bentuk dasar dari turunan (limit definition of derivative) — konsep kunci untuk kalkulus bisnis.
= [(√(x+h) − √x)(√(x+h) + √x)] / [h(√(x+h) + √x)]
Langkah 2: Pembilang menjadi selisih kuadrat: (x+h) − x = h
Langkah 3: Sederhanakan: h / [h(√(x+h) + √x)] = 1 / (√(x+h) + √x)
Jawaban: 1 / (√(x+h) + √x)
Catatan: Ini adalah bentuk dasar dari turunan (limit definition of derivative) — konsep kunci untuk kalkulus bisnis.
Review Problem 4: Pembagian Polinomial (Long Division)
Soal: Hitung (3x3 − 4x2 + 3x + 7) ÷ (x − 1).
🔍 Lihat Pembahasan
Long Division:
• 3x3 ÷ x = 3x2 → 3x2(x−1) = 3x3 − 3x2
• Sisa: (−4x2) − (−3x2) = −x2, turun 3x → −x2 + 3x
• −x2 ÷ x = −x → −x(x−1) = −x2 + x
• Sisa: 3x − x = 2x, turun 7 → 2x + 7
• 2x ÷ x = 2 → 2(x−1) = 2x − 2
• Sisa: 7 − (−2) = 9
Jawaban: 3x2 − x + 2 + 9/(x − 1)
• 3x3 ÷ x = 3x2 → 3x2(x−1) = 3x3 − 3x2
• Sisa: (−4x2) − (−3x2) = −x2, turun 3x → −x2 + 3x
• −x2 ÷ x = −x → −x(x−1) = −x2 + x
• Sisa: 3x − x = 2x, turun 7 → 2x + 7
• 2x ÷ x = 2 → 2(x−1) = 2x − 2
• Sisa: 7 − (−2) = 9
Jawaban: 3x2 − x + 2 + 9/(x − 1)
Review Problem 5: Penyederhanaan Pecahan Kompleks
Soal: Sederhanakan [1/(x+h)2 − 1/x2] / h.
🔍 Lihat Pembahasan
Langkah 1: Samakan penyebut di pembilang (LCD = x2(x+h)2):
= [x2 − (x+h)2] / [x2(x+h)2 · h]
Langkah 2: Uraikan (x+h)2 = x2 + 2xh + h2:
x2 − (x2 + 2xh + h2) = −2xh − h2 = −h(2x + h)
Langkah 3: Coret h:
= −h(2x + h) / [x2(x+h)2 · h] = −(2x + h) / [x2(x+h)2]
Jawaban: −(2x + h) / [x2(x+h)2]
= [x2 − (x+h)2] / [x2(x+h)2 · h]
Langkah 2: Uraikan (x+h)2 = x2 + 2xh + h2:
x2 − (x2 + 2xh + h2) = −2xh − h2 = −h(2x + h)
Langkah 3: Coret h:
= −h(2x + h) / [x2(x+h)2 · h] = −(2x + h) / [x2(x+h)2]
Jawaban: −(2x + h) / [x2(x+h)2]
Review Problem 6: Persamaan Literal — Mencari P
Soal: Selesaikan S = P(1 + r)n untuk P.
🔍 Lihat Pembahasan
Langkah: Bagi kedua ruas dengan (1 + r)n:
S / (1 + r)n = P
Jawaban: P = S / (1 + r)n
Ini adalah rumus Present Value (nilai sekarang) — fondasi analisis investasi bisnis.
S / (1 + r)n = P
Jawaban: P = S / (1 + r)n
Ini adalah rumus Present Value (nilai sekarang) — fondasi analisis investasi bisnis.
Review Problem 7: Persamaan Literal — Mencari r
Soal: Selesaikan S = P(1 + r)n untuk r.
🔍 Lihat Pembahasan
Langkah 1: Bagi dengan P: S/P = (1 + r)n
Langkah 2: Akar ke-n kedua ruas: (S/P)1/n = 1 + r
Langkah 3: Kurangi 1: r = (S/P)1/n − 1
Jawaban: r = (S/P)1/n − 1
Ini adalah rumus Compound Annual Growth Rate (CAGR) — vital untuk analisis pertumbuhan bisnis.
Langkah 2: Akar ke-n kedua ruas: (S/P)1/n = 1 + r
Langkah 3: Kurangi 1: r = (S/P)1/n − 1
Jawaban: r = (S/P)1/n − 1
Ini adalah rumus Compound Annual Growth Rate (CAGR) — vital untuk analisis pertumbuhan bisnis.
Review Problem 8: Persamaan Bentuk Kuadrat
Soal: Selesaikan x + 2√x − 15 = 0 dengan memperlakukannya sebagai persamaan bentuk kuadrat.
🔍 Lihat Pembahasan
Langkah 1: Substitusi u = √x, sehingga u2 = x:
u2 + 2u − 15 = 0
Langkah 2: Faktorkan: (u + 5)(u − 3) = 0
u = −5 atau u = 3
Langkah 3: Karena u = √x ≥ 0, maka u = −5 ditolak. Ambil u = 3.
√x = 3 → x = 9
Jawaban: x = 9
Verifikasi: 9 + 2√9 − 15 = 9 + 6 − 15 = 0 ✓
u2 + 2u − 15 = 0
Langkah 2: Faktorkan: (u + 5)(u − 3) = 0
u = −5 atau u = 3
Langkah 3: Karena u = √x ≥ 0, maka u = −5 ditolak. Ambil u = 3.
√x = 3 → x = 9
Jawaban: x = 9
Verifikasi: 9 + 2√9 − 15 = 9 + 6 − 15 = 0 ✓
Review Problem 9: Bunga Majemuk — Kasus Emily
Soal: Emily menemukan saldo $5.253,14 di rekening yang tidak tersentuh selama 2 tahun, dengan bunga 3,5% dimajemukkan tahunan. Berapa banyak dari saldo saat ini yang merupakan bunga yang diperoleh?
Petunjuk: Jika P diinvestasikan 2 tahun pada tingkat r, maka S = P(1 + r)2.
Petunjuk: Jika P diinvestasikan 2 tahun pada tingkat r, maka S = P(1 + r)2.
🔍 Lihat Pembahasan
Diketahui: S = 5.253,14, r = 0,035, n = 2
Langkah 1: Cari P (modal awal):
5.253,14 = P(1,035)2 = P(1,071225)
P = 5.253,14 / 1,071225 ≈ $4.903,86
Langkah 2: Hitung bunga:
Interest = S − P = 5.253,14 − 4.903,86 = $349,28
Jawaban: Bunga yang diperoleh ≈ $349,28
Ini adalah aplikasi langsung dari Review Problem 6 — mengekstrak komponen bunga dari saldo akhir, mirip dengan kasus Lesley Griffith (ekstraksi PPN dari total struk).
Langkah 1: Cari P (modal awal):
5.253,14 = P(1,035)2 = P(1,071225)
P = 5.253,14 / 1,071225 ≈ $4.903,86
Langkah 2: Hitung bunga:
Interest = S − P = 5.253,14 − 4.903,86 = $349,28
Jawaban: Bunga yang diperoleh ≈ $349,28
Ini adalah aplikasi langsung dari Review Problem 6 — mengekstrak komponen bunga dari saldo akhir, mirip dengan kasus Lesley Griffith (ekstraksi PPN dari total struk).
Review Problem 10: Persamaan Ekonomi — Akar Kedua
Soal: Persamaan ekonomi M = Q(Q + 10) − 44, di mana M = tingkat penawaran uang dan Q = pendapatan riil. Salah satu akarnya adalah Q = 5 + √(25 + 44M). Apa akar lainnya dan apakah memiliki signifikansi ekonomi?
🔍 Lihat Pembahasan
Langkah 1: Tulis ulang persamaan:
M = Q2 + 10Q − 44 → Q2 + 10Q − (44 + M) = 0
Langkah 2: Gunakan rumus kuadrat (a=1, b=10, c=−(44+M)):
Q = [−10 ± √(100 + 4(44+M))] / 2
Q = [−10 ± √(276 + 4M)] / 2
Catatan: Bentuk yang diberikan di soal (Q = 5 + √(25+44M)) mengindikasikan persamaan aslinya kemungkinan Q2 − 10Q − 44M = 0. Dengan asumsi ini:
Q = [10 ± √(100 + 176M)] / 2 = 5 ± √(25 + 44M)
Langkah 3: Akar lainnya adalah:
Q = 5 − √(25 + 44M)
Signifikansi ekonomi:
• Q adalah pendapatan riil, yang harus bernilai positif.
• Untuk M yang cukup besar, √(25 + 44M) > 5, sehingga akar kedua menjadi negatif.
• Akar negatif tidak memiliki makna ekonomi (pendapatan riil tidak bisa negatif).
• Oleh karena itu, hanya Q = 5 + √(25 + 44M) yang merupakan solusi yang valid secara ekonomi.
Pelajaran penting: Dalam pemodelan bisnis, selalu verifikasi apakah solusi matematis memiliki interpretasi realistis dalam konteks masalah.
M = Q2 + 10Q − 44 → Q2 + 10Q − (44 + M) = 0
Langkah 2: Gunakan rumus kuadrat (a=1, b=10, c=−(44+M)):
Q = [−10 ± √(100 + 4(44+M))] / 2
Q = [−10 ± √(276 + 4M)] / 2
Catatan: Bentuk yang diberikan di soal (Q = 5 + √(25+44M)) mengindikasikan persamaan aslinya kemungkinan Q2 − 10Q − 44M = 0. Dengan asumsi ini:
Q = [10 ± √(100 + 176M)] / 2 = 5 ± √(25 + 44M)
Langkah 3: Akar lainnya adalah:
Q = 5 − √(25 + 44M)
Signifikansi ekonomi:
• Q adalah pendapatan riil, yang harus bernilai positif.
• Untuk M yang cukup besar, √(25 + 44M) > 5, sehingga akar kedua menjadi negatif.
• Akar negatif tidak memiliki makna ekonomi (pendapatan riil tidak bisa negatif).
• Oleh karena itu, hanya Q = 5 + √(25 + 44M) yang merupakan solusi yang valid secara ekonomi.
Pelajaran penting: Dalam pemodelan bisnis, selalu verifikasi apakah solusi matematis memiliki interpretasi realistis dalam konteks masalah.
🎓 Catatan Penutup: Review Problems ini mencakup seluruh spektrum aljabar dasar — dari manipulasi eksponen, pemfaktoran, persamaan linear & kuadrat, hingga aplikasi bisnis nyata (bunga majemuk, ekstraksi pajak, model ekonomi). Kuasai kesepuluh soal ini sebagai fondasi sebelum melanjutkan ke kalkulus bisnis dan riset operasi.
