BAB 2: LINEAR PROGRAMMING (LP) MODELS
Optimasi Sumber Daya dengan Excel Solver — Pendekatan LEAN untuk UMKM & Industri
2.1 Apa Itu Linear Programming?
Linear Programming (LP) adalah teknik pemodelan matematis yang membantu manajer mengalokasikan sumber daya terbatas (mesin, tenaga kerja, uang, waktu, bahan baku) secara optimal untuk mencapai tujuan tertentu (maksimasi profit atau minimasi biaya).
LP adalah bagian dari mathematical programming — istilah “programming” di sini bukan berarti coding komputer, melainkan perencanaan matematis.
2.2 Empat Properti Utama Model LP
Semua masalah LP bertujuan memaksimalkan atau meminimalkan suatu kuantitas (biasanya profit atau biaya). Fungsi ini harus didefinisikan secara matematis.
Contoh: Maksimalkan profit = Rp 70.000T + Rp 50.000C
LP memiliki batasan sumber daya yang membatasi seberapa jauh kita dapat mengejar tujuan. Kendala dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan (≤, ≥) atau persamaan (=).
Contoh: 3T + 4C ≤ 2.400 (jam kerja tersedia)
Harus ada pilihan alternatif yang dapat dipilih. Jika hanya ada satu cara, LP tidak diperlukan.
Semua hubungan matematis harus linear (derajat satu). Tidak ada variabel yang dikuadratkan, dikalikan dengan variabel lain, atau muncul dalam bentuk non-linear.
Valid: 2A + 5B = 10
Tidak Valid: 2A² + 5B³ + AB = 10
📌 Empat Asumsi Dasar LP:
- Certainty: Semua parameter diketahui dengan pasti dan tidak berubah.
- Proportionality: Kontribusi setiap variabel proporsional terhadap ukuran.
- Additivity: Total kontribusi = jumlah kontribusi individual.
- Divisibility: Solusi boleh berupa pecahan (tidak harus bilangan bulat).
2.3 Formulasi Masalah LP: Studi Kasus UMKM
Skenario Bisnis:
Meja Kursi Nusantara memproduksi meja dan kursi dari kayu jati. Setiap produk membutuhkan waktu di departemen pertukangan dan pengecatan. Manajemen ingin mengetahui kombinasi produksi optimal untuk memaksimalkan profit bulanan.
📊 Data Produksi:
| Produk | Pertukangan (jam) | Pengecatan (jam) | Profit/Unit |
|---|---|---|---|
| Meja (T) | 3 | 2 | Rp 70.000 |
| Kursi (C) | 4 | 1 | Rp 50.000 |
Ketersediaan Sumber Daya:
- Pertukangan: 2.400 jam/bulan
- Pengecatan: 1.000 jam/bulan
- Permintaan kursi maksimal: 450 unit (karena stok gudang masih banyak)
- Permintaan meja minimal: 100 unit (karena stok gudang menipis)
📐 LANGKAH FORMULASI:
T = Jumlah meja yang diproduksi per bulanC = Jumlah kursi yang diproduksi per bulan
Maksimalkan Profit = 70.000T + 50.000C
- Kendala Pertukangan: 3T + 4C ≤ 2.400
- Kendala Pengecatan: 2T + 1C ≤ 1.000
- Kendala Permintaan Kursi: C ≤ 450
- Kendala Permintaan Meja: T ≥ 100
- Non-negatif: T ≥ 0, C ≥ 0
Maksimalkan: Z = 70.000T + 50.000C
Dengan kendala:
3T + 4C ≤ 2.400 (pertukangan)
2T + 1C ≤ 1.000 (pengecatan)
C ≤ 450 (maksimal kursi)
T ≥ 100 (minimal meja)
T, C ≥ 0 (non-negatif)
2.4 Solusi Grafis (Untuk 2 Variabel)
Untuk masalah dengan 2 variabel keputusan, kita dapat menyelesaikan LP secara grafis. Meskipun jarang terjadi di dunia nyata, metode ini memberikan intuisi visual tentang bagaimana LP bekerja.
Konsep Kunci:
- Feasible Region: Area yang memenuhi SEMUA kendala secara simultan.
- Corner Point Property: Solusi optimal SELALU berada di salah satu titik sudut (corner point) dari feasible region.
- Level Lines: Garis-garis paralel yang mewakili nilai fungsi tujuan yang berbeda.
A. Plotting Kendala
Setiap kendala digambar sebagai garis lurus dengan mencari 2 titik potong (biasanya di sumbu T dan sumbu C):
- Kendala Pertukangan (3T + 4C = 2.400):
- Jika T = 0 → C = 600
- Jika C = 0 → T = 800
- Kendala Pengecatan (2T + C = 1.000):
- Jika T = 0 → C = 1.000
- Jika C = 0 → T = 500
Area di bawah garis kendala ≤ adalah feasible. Area di kanan garis kendala ≥ adalah feasible.
B. Identifikasi Corner Points
Feasible region untuk kasus Meja Kursi Nusantara memiliki 5 corner points:
| Point | Koordinat (T, C) | Profit (Z) |
|---|---|---|
| ① | (100, 0) | Rp 7.000.000 |
| ② | (100, 450) | Rp 29.500.000 |
| ③ | (200, 450) | Rp 36.500.000 |
| ④ | (320, 360) | Rp 40.400.000 ← OPTIMAL |
| ⑤ | (500, 0) | Rp 35.000.000 |
✅ Solusi Optimal: Produksi 320 meja dan 360 kursi → Profit maksimal Rp 40.400.000
2.5 Solusi LP dengan Excel Solver
📊 LAYOUT EXCEL – FORMULA VIEW
| Cell | Deskripsi | Formula/Value |
|---|---|---|
| DECISION VARIABLES (Variabel Keputusan) | ||
| B5 | Jumlah Meja (T) | [Kosong – akan diisi Solver] |
| C5 | Jumlah Kursi (C) | [Kosong – akan diisi Solver] |
| OBJECTIVE FUNCTION (Fungsi Tujuan) | ||
| B6 | Profit per Meja | 70000 |
| C6 | Profit per Kursi | 50000 |
| D6 | Total Profit | =SUMPRODUCT(B6:C6, $B$5:$C$5) |
| CONSTRAINTS (Kendala) | ||
| B8 | Koefisien T – Pertukangan | 3 |
| C8 | Koefisien C – Pertukangan | 4 |
| D8 | LHS – Pertukangan | =SUMPRODUCT(B8:C8, $B$5:$C$5) |
| F8 | RHS – Pertukangan | 2400 |
| B9 | Koefisien T – Pengecatan | 2 |
| C9 | Koefisien C – Pengecatan | 1 |
| D9 | LHS – Pengecatan | =SUMPRODUCT(B9:C9, $B$5:$C$5) |
| F9 | RHS – Pengecatan | 1000 |
| B10 | Koefisien T – Max Kursi | 0 |
| C10 | Koefisien C – Max Kursi | 1 |
| D10 | LHS – Max Kursi | =SUMPRODUCT(B10:C10, $B$5:$C$5) |
| F10 | RHS – Max Kursi | 450 |
| B11 | Koefisien T – Min Meja | 1 |
| C11 | Koefisien C – Min Meja | 0 |
| D11 | LHS – Min Meja | =SUMPRODUCT(B11:C11, $B$5:$C$5) |
| F11 | RHS – Min Meja | 100 |
🎯 LANGKAH MENGGUNAKAN SOLVER:
- Buka tab Data → Solver (di grup Analysis)
- Set Objective:
$D$6(Total Profit) - To: Pilih Max
- By Changing Variable Cells:
$B$5:$C$5 - Subject to the Constraints: Klik Add dan masukkan:
$D$8:$D$10≤$F$8:$F$10(3 kendala ≤ sekaligus)$D$11≥$F$11(1 kendala ≥)
- Check: “Make Unconstrained Variables Non-Negative”
- Select Solving Method: Simplex LP
- Klik Solve → OK
📊 HASIL SOLVER (Answer Report)
| Cell | Name | Final Value | Status | Slack/Surplus |
|---|---|---|---|---|
| DECISION VARIABLES | ||||
| $B$5 | Meja (T) | 320 | – | – |
| $C$5 | Kursi (C) | 360 | – | – |
| OBJECTIVE | ||||
| $D$6 | Total Profit | Rp 40.400.000 | – | – |
| CONSTRAINTS | ||||
| $D$8 | Pertukangan | 2400 | Binding | 0 |
| $D$9 | Pengecatan | 1000 | Binding | 0 |
| $D$10 | Max Kursi | 360 | Non-binding | 90 (slack) |
| $D$11 | Min Meja | 320 | Non-binding | 220 (surplus) |
💡 Interpretasi Hasil:
- Solusi Optimal: Produksi 320 meja dan 360 kursi → Profit Rp 40.400.000
- Binding Constraints: Pertukangan dan pengecatan terpakai 100% (tidak ada sisa waktu)
- Non-binding Constraints:
- Kendala max kursi: masih ada slack 90 unit (bisa produksi 90 kursi lagi jika ada waktu)
- Kendala min meja: surplus 220 unit (produksi jauh melebihi minimum)
- Insight Bisnis: Meskipun profit per meja (Rp 70.000) lebih tinggi dari kursi (Rp 50.000), optimal solution memproduksi lebih banyak kursi karena meja membutuhkan lebih banyak waktu pertukangan (resource langka).
2.6 Masalah Minimisasi LP
Skenario: Peternakan ingin menentukan campuran pakan termurah yang memenuhi kebutuhan nutrisi minimum ayam per bulan.
Data Pakan:
| Nutrisi | Pakan A (unit/lb) | Pakan B (unit/lb) | Minimum Required |
|---|---|---|---|
| Protein | 5 | 10 | 45 |
| Vitamin | 4 | 3 | 24 |
| Zat Besi | 0.5 | 0 | 1.5 |
| Biaya/lb | Rp 1.000 | Rp 1.500 | – |
Minimalkan: Z = 1.000A + 1.500B
Dengan kendala:
5A + 10B ≥ 45 (protein)
4A + 3B ≥ 24 (vitamin)
0.5A ≥ 1.5 (zat besi)
A, B ≥ 0 (non-negatif)
🎯 Solusi Optimal (dengan Solver):
- A = 4.20 lb (Pakan A)
- B = 2.40 lb (Pakan B)
- Total Biaya Minimum = Rp 7.800 per ayam/bulan
Catatan: Kendala protein dan vitamin binding (terpenuhi persis). Kendala zat besi non-binding dengan surplus 0.6 unit (terpenuhi lebih dari kebutuhan).
2.7 Situasi Khusus dalam LP
A. Redundant Constraints (Kendala Redundan)
Kendala yang tidak mempengaruhi feasible region karena kendala lain lebih membatasi.
Contoh: Jika kendala “C ≤ 450” dan “T ≤ 100” sudah sangat membatasi, maka kendala “3T + 4C ≤ 2.400” menjadi redundan.
️ Kendala redundan tidak mempengaruhi solusi optimal, tetapi menunjukkan model bisa disederhanakan.
B. Infeasibility (Tidak Ada Solusi)
Kondisi ketika tidak ada solusi yang memenuhi semua kendala secara simultan. Feasible region tidak ada.
Penyebab: Kendala yang saling bertentangan.
Contoh: Jika diminta “T ≥ 600” tetapi kendala waktu hanya memungkinkan maksimal T = 500.
⚠️ Solver akan menampilkan pesan: “Could not find a feasible solution.”
Solusi: Revisi kendala yang bertentangan dengan manajemen.
C. Alternate Optimal Solutions (Solusi Optimal Ganda)
Terjadi ketika garis fungsi tujuan paralel dengan salah satu kendala binding. Ada lebih dari satu corner point yang memberikan nilai optimal sama.
Contoh: Jika profit berubah menjadi “60.000T + 30.000C”, maka semua titik di sepanjang garis kendala pengecatan (antara point ④ dan ⑤) adalah optimal.
✅ Keuntungan: Memberikan fleksibilitas bagi manajemen untuk memilih solusi berdasarkan pertimbangan kualitatif.
D. Unbounded Solution (Solusi Tak Terbatas)
Kondisi ketika nilai fungsi tujuan bisa dibuat tak terhingga tanpa melanggar kendala (pada masalah maksimisasi).
Penyebab: Formulasi salah — ada kendala yang hilang atau tanda kendala terbalik.
⚠️ Solver akan menampilkan pesan: “Objective Cell values do not converge.”
Solusi: Periksa kembali formulasi, pastikan semua kendala relevan dimasukkan.
2.8 Panduan Formulasi LP yang Benar
- Definisikan variabel keputusan dengan jelas: Tanyakan “Apa yang ingin saya ketahui?” → itulah variabel keputusan.
- Variabel berbeda boleh memiliki satuan berbeda: Tidak masalah jika X = jam kerja, Y = galon cat.
- Semua ekspresi hanya boleh menggunakan variabel yang didefinisikan: Jangan gunakan variabel yang tidak dideklarasikan.
- Semua suku dalam satu ekspresi harus mengukur hal yang sama:
- Di kendala pertukangan: semua suku dalam jam
- Di fungsi tujuan: semua suku dalam rupiah
- Tulis setiap kendala secara terpisah: Jangan gabungkan beberapa kendala dalam satu ekspresi.
- Lakukan “reverse translation”: Setelah menulis formula, terjemahkan kembali ke bahasa Indonesia untuk verifikasi.
2.9 Rangkuman Eksekutif Bab 2
- Linear Programming adalah teknik optimasi untuk mengalokasikan sumber daya terbatas secara optimal.
- Model LP memiliki 4 properti: fungsi tujuan, kendala, alternatif keputusan, dan linearitas.
- Proses LP: Formulasi → Solusi (grafis/Solver) → Interpretasi.
- Excel Solver dengan metode Simplex LP dapat menyelesaikan masalah LP dengan hingga 200 variabel dan 100 kendala.
- Fungsi SUMPRODUCT sangat berguna untuk menulis formula LP secara efisien di Excel.
- Solusi optimal selalu berada di corner point feasible region.
- Situasi khusus: redundant constraints, infeasibility, alternate optimal, unbounded — masing-masing memiliki interpretasi dan solusi berbeda.
- Kualitas solusi LP sepenuhnya bergantung pada ketepatan formulasi dan validitas data input.
📚 GLOSSARY (Istilah Penting):
- Binding Constraint: Kendala yang terpenuhi persis (LHS = RHS)
- Corner Point: Titik sudut feasible region
- Decision Variable: Variabel yang nilainya dicari
- Feasible Region: Area yang memenuhi semua kendala
- Objective Function: Fungsi yang ingin dimaksimalkan/diminimalkan
- Redundant Constraint: Kendala yang tidak mempengaruhi feasible region
- Simplex Method: Algoritma untuk menyelesaikan LP
- Slack: Selisih RHS – LHS untuk kendala ≤ (sumber daya tidak terpakai)
- Surplus: Selisih LHS – RHS untuk kendala ≥ (kebutuhan terpenuhi lebih)
- SUMPRODUCT: Fungsi Excel untuk menghitung jumlah produk
📥 Unduh File Excel Pendukung
Praktikkan langsung dengan file Excel yang sudah kami siapkan. File ini berisi 4 sheet (Mebel Nusantara, Pakan Ternak, dan 2 Latihan) dengan format LEAN dan rumus Solver yang sudah siap pakai!
*Catatan Penting: Ganti URL di atas dengan link asli file Sesi02_Linear_Programming_LEAN.xlsx setelah Anda mengunggahnya ke menu Media WordPress.
📚 Daftar Artikel dalam Seri Panduan Bisnis
Jelajahi seluruh seri panduan lengkap untuk menguasai Excel Solver dari dasar hingga tingkat lanjut.