Module 09 – Limits & Continuity

Leave a Comment / Matematika Bisnis / By

Module 09 – Limits & Continuity

Analisis Perilaku Fungsi di Titik Kritis

Kode Mata Kuliah: MNJ104
Topik: Limit, Limit Tak Hingga, & Kontinuitas
Referensi: Haeussler, Chapter 10

Kalkulus dimulai di sini. Jika aljabar adalah foto (statis), maka kalkulus adalah film (bergerak). Kita akan mempelajari bagaimana fungsi berperilaku saat mendekati ambang batas tertentu, namun tidak harus menyentuhnya.

1. Teorema Utama Limit

Limit menanyakan: “Ke angka berapakah nilai f(x) menuju, saat x bergerak sangat dekat menuju c?”

lim x → c f(x) = L

Berdasarkan Haeussler Theorem 1, jika limit ada, maka berlaku sifat operasi aljabar (Penjumlahan, Perkalian, Pembagian).

Contoh 1 (Substitusi Langsung):
Hitung: lim x → 3 (x2 – 4x + 1)

Solusi: Karena ini fungsi polinomial, cukup masukkan nilai x = 3.
(3)2 – 4(3) + 1 = 9 – 12 + 1 = -2.

2. Strategi Bentuk Tak Tentu (0/0)

Jika substitusi menghasilkan 0/0, jangan menyerah. Itu artinya ada “lubang” di grafik yang bisa kita tambal dengan manipulasi aljabar (faktorisasi).

Contoh 2 (Teknik Faktorisasi):
Hitung: lim x → 2 [ (x2 – 4) / (x – 2) ]

Langkah Pengerjaan:
  1. Cek substitusi: (22 – 4) / (2 – 2) = 0/0 (Bentuk Tak Tentu).
  2. Faktorkan pembilang: x2 – 4 menjadi (x – 2)(x + 2).
  3. Coret faktor penyebab nol (x-2): Sisa lim x → 2 (x + 2).
  4. Evaluasi: 2 + 2 = 4.

3. Uji Kontinuitas

Fungsi dikatakan kontinu (mulus) jika memenuhi 3 syarat: f(c) ada, Limit ada, dan Nilai Limit = f(c).

Contoh 3 (Fungsi Bersyarat):
Diketahui f(x) = x + 1 (jika x ≥ 2) dan f(x) = x2 – 1 (jika x < 2). Apakah kontinu di x = 2?

Uji 3 Pilar:
  • f(2) = 2 + 1 = 3.
  • Limit Kanan (x → 2+): 2 + 1 = 3.
  • Limit Kiri (x → 2–): 22 – 1 = 3.
Kesimpulan: Karena Limit Kiri = Kanan = Nilai Fungsi, maka f KONTINU.

4. Analisis Jangka Panjang (∞)

Digunakan untuk melihat perilaku biaya saat skala produksi membesar tanpa batas (Economies of Scale).

Contoh 4 (Rasio Pangkat Tertinggi):
Hitung: lim x → ∞ (2x2 + 5) / (3x2 – 1)

Solusi Cepat:
Karena pangkat tertinggi pembilang dan penyebut sama (x2), cukup ambil rasio koefisien utamanya: 2/3.
🌉 The Missing Link: Dasar Kalkulus Diferensial

Inilah alasan utama kita belajar limit: Untuk menemukan rumus laju perubahan (turunan) menggunakan Difference Quotient.

lim h → 0 [ f(x + h) – f(x) ] / h
Contoh Teknis: Cari fungsi marjinal untuk f(x) = x2.
  1. Substitusi: lim h → 0 [ (x + h)2 – x2 ] / h
  2. Uraikan: lim h → 0 [ x2 + 2xh + h2 – x2 ] / h
  3. Sederhanakan: lim h → 0 [ 2xh + h2 ] / h
  4. Bagi h: lim h → 0 (2x + h)
  5. Hasil (h=0): 2x
Referensi: Haeussler, Chapter 10. Disusun secara eksklusif untuk AurinoWorks.
#MNJ104 #Limits #Continuity #CalculusBasic
Module 08 – Linear Programming
MAT BIS
Module 10 – Differentiation

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *