Module 14 – Integration Methods
Teknik Lanjutan, Integral Tak Wajar, & Persamaan Diferensial
| Kode Mata Kuliah | : MNJ104 |
| Topik | : Integration by Parts, Improper Integrals, Differential Eq. |
| Referensi | : Haeussler, Chapter 15 |
Tidak semua fungsi bisa diintegralkan dengan rumus dasar. Bagaimana jika fungsinya adalah perkalian dua jenis berbeda (misal: x dikali ex)? Di modul ini, kita belajar teknik “bedah lanjut” dan cara menangani integral dengan batas tak hingga, yang menjadi pondasi ilmu statistik.
1. Integration by Parts (Parsial)
Teknik ini adalah kebalikan dari Product Rule pada turunan. Digunakan saat integrand adalah perkalian dua fungsi yang tidak bisa disubstitusi (Haeussler Sec 15.1).
∫ u dv = uv – ∫ v du
Selesaikan ∫ x ex dx.
Strategi Pemilihan:
- Pilih u = x (karena turunannya, dx, lebih sederhana).
- Pilih dv = ex dx (karena mudah diintegralkan).
- Cari du: u = x → du = dx.
- Cari v: ∫ dv = ∫ ex dx → v = ex.
- Masukkan Rumus: uv – ∫ v du
= x(ex) – ∫ ex dx - Selesaikan Integral sisa: x ex – ex + C.
- Hasil Akhir: ex(x – 1) + C.
2. Improper Integrals (Integral Tak Wajar)
Bagaimana menghitung area jika batasnya sampai tak hingga (∞)? Ini sangat penting untuk menghitung probabilitas dalam distribusi normal (Haeussler Sec 15.7).
∫1∞ f(x) dx = lim t → ∞ ∫1t f(x) dx
Hitung ∫1∞ (1/x2) dx.
Langkah:
- Integralkan tentu dari 1 sampai t:
∫ x-2 dx = [-x-1] = [-1/x] dari 1 ke t. - Evaluasi batas: (-1/t) – (-1/1) = 1 – 1/t.
- Ambil Limit saat t → ∞:
lim (1 – 1/t). Karena 1/∞ mendekati 0, maka hasilnya 1.
Kesimpulan: Area di bawah kurva tersebut hingga tak terbatas ternyata finit (bernilai 1).
3. Persamaan Diferensial Dasar
Banyak model bisnis (pertumbuhan investasi, peluruhan aset) dinyatakan dalam bentuk laju perubahan (dy/dx). Kita mencari y dengan metode pemisahan variabel (Separation of Variables).
Selesaikan dy/dx = 2y.
Langkah:
- Pisahkan variabel (y ke kiri, x ke kanan):
(1/y) dy = 2 dx. - Integralkan kedua sisi:
∫ (1/y) dy = ∫ 2 dx
ln|y| = 2x + C. - Hilangkan ln (gunakan e):
y = e(2x + C) = e2x ⋅ eC. - Misalkan eC = A (konstanta baru):
y = A e2x.
#Calculus #IntegrationTechniques #DifferentialEquations #MNJ104