Studi Kasus Visual: Produksi Kursi & Meja
Masalah: Maksimalkan Profit $Z = 3x + 2y$ (x: Kursi, y: Meja) dengan kendala:
- Tenaga Kerja: $2x + y \le 8$
- Bahan Baku: $2x + 3y \le 12$
- Gambar Garis Kendala: Tentukan titik potong (intercept) tiap garis.
Garis 1: (0,8) dan (4,0). Garis 2: (0,4) dan (6,0). - Arsir Feasible Region: Daerah di bawah kedua garis tersebut (karena tanda $\le$).
- Cari Titik Pojok (Corner Points):
- A (0,0)
- B (4,0) – Potongan Garis 1 dengan sumbu x
- C (3,2) – Titik temu kedua garis (hitung dengan eliminasi!)
- D (0,4) – Potongan Garis 2 dengan sumbu y
- Uji Profit di Setiap Titik:
Z(A) = 0 | Z(B) = 12 | Z(C) = 13 (Optimal!) | Z(D) = 8
Insight: Manajer harus memproduksi 3 kursi dan 2 meja untuk mencapai profit tertinggi $13. Titik lain mungkin “layak”, tapi tidak “maksimal”.
š¤ Pikir: Apa itu Slack sebenarnya?
Dalam bisnis, Slack ($s$) adalah sumber daya yang “menganggur” atau sisa kapasitas.
- Jika sā = 0: Artinya sumber daya terpakai habis (Binding Constraint).
- Jika sā > 0: Artinya ada sisa kapasitas yang tidak menghasilkan profit.
Tugas Manajer: Meminimalkan Slack pada sumber daya yang mahal!
Eksekusi: Ritual Pivot Simplex
Gunakan tabel dari materi di atas. Bagaimana kita memulainya?
Lihat baris Z: Ada angka -3 dan -2.
Pilih -3 (Kolom x) sebagai Kolom Pivot. Ini adalah produk yang memberi profit terbesar per unit.
Bagi RHS dengan angka di Kolom Pivot:
- Baris sā: 8 / 2 = 4
- Baris sā: 12 / 2 = 6
Pilih yang terkecil (4). Maka Baris sā adalah Baris Pivot. Elemen Pivot kita adalah angka 2.
Langkah 3: Transformasi (Tindak)Bagi seluruh Baris sā dengan angka 2 (Pivot) agar menjadi 1. Lalu gunakan baris baru ini untuk menolkan angka lain di kolom x.
Hasilnya: Variabel x masuk menggantikan sā dalam basis.
šÆ Quiz: Strategi Operasional
Soal:
Jika hasil akhir Tabel Simplex menunjukkan $sā = 15$, apa artinya bagi manajer pabrik?
šļø Lihat Analisis
1. Kurangi pemesanan bahan baku sā untuk menghemat biaya, atau
2. Cari produk baru yang bisa memanfaatkan kelebihan sā tersebut.
š Kasus 1: Optimasi Produksi Furnitur
Masalah: Sebuah pabrik memproduksi Meja (x) dan Kursi (y).
Fungsi Profit: Z = 3x + 2y (dalam jutaan Rupiah).
Kendala Sumber Daya:
- Tenaga Kerja: 2x + y ā¤ 100 (Maks 100 jam)
- Bahan Baku: x + y ā¤ 80 (Maks 80 unit kayu)
- Non-Negativitas: x, y ā„ 0
- Gambar Garis Kendala:
- Garis 1 (2x + y = 100): Jika x=0, y=100. Jika y=0, x=50. Titik: (0, 100) dan (50, 0).
- Garis 2 (x + y = 80): Jika x=0, y=80. Jika y=0, x=80. Titik: (0, 80) dan (80, 0).
- Tentukan Area Layak (Feasible Region): Arsir daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan (di bawah kedua garis).
- Identifikasi Titik Pojok (Vertices):
- Titik A: (0, 0)
- Titik B: (50, 0) – Potongan Garis 1 dengan sumbu x.
- Titik C: (20, 60) – Titik potong Garis 1 & 2 (hitung dengan eliminasi).
- Titik D: (0, 80) – Potongan Garis 2 dengan sumbu y.
- Uji Nilai Z pada Setiap Titik Pojok:
- Z(A) = 3(0) + 2(0) = 0
- Z(B) = 3(50) + 2(0) = 150
- Z(C) = 3(20) + 2(60) = 180 (MAKSIMAL)
- Z(D) = 3(0) + 2(80) = 160
Kesimpulan: Untuk profit maksimal Rp180 Juta, produksi 20 Meja dan 60 Kursi.
š Kasus 2: Algoritma Simpleks (Standard Form)
Masalah: Maksimalkan Z = 5xā + 4xā
Kendala:
- xā + xā ā¤ 20
- 2xā + xā ā¤ 35
- xā, xā ā„ 0
- Ubah ke Bentuk Standar: Tambahkan Slack Variables (sā, sā).
- xā + xā + sā = 20
- 2xā + xā + sā = 35
- -5xā – 4xā + Z = 0
- Susun Tabel Awal (Tableau):
Basics xā xā sā sā RHS sā 1 1 1 0 20 sā 2 1 0 1 35 Z -5 -4 0 0 0 - Pilih Kolom & Baris Pivot:
- Kolom Pivot: xā (karena -5 adalah negatif terbesar).
- Baris Pivot: Hitung rasio RHS/Pivot (20/1=20, 35/2=17.5). Pilih yang terkecil (17.5). Maka Baris sā adalah pivot.
- Iterasi (Eliminasi Gauss-Jordan):
- Ubah elemen pivot (angka 2) menjadi 1 dengan membagi baris sā dengan 2.
- Nolkan elemen lain di kolom xā menggunakan operasi baris.
- Hasil Akhir: Ulangi sampai baris Z tidak ada lagi yang negatif.
Setelah iterasi selesai, didapat: xā = 15, xā = 5, sehingga Z = 95.
Lab Praktik: Excel Sebagai “Kertas Kerja” Digital
Dalam sesi ini, kita tidak akan menggunakan fitur otomatis. Kita akan menggunakan Excel sebagai media untuk melakukan Operasi Baris Dasar (OBD) secara manual agar Anda memahami setiap pergeseran di dalam Tabel Simpleks.
- Coba: Susunlah Tabel Simpleks awal di atas grid Excel. Gunakan alamat sel (misal:
=A10/B10) untuk menghitung rasio. - Pikir: Analisis baris Z secara manual. Tentukan kolom pivot berdasarkan logika “profit terbesar”, bukan klik tombol otomatis.
- Tindak: Eksekusi OBD dengan rumus Excel (seperti
=Baris_Lama - (Koefisien * Baris_Pivot)) untuk menghasilkan tabel baru.
“Tonton bagaimana saya mentransformasi tabel simpleks langkah demi langkah menggunakan kekuatan rumus sel Excel.”
Keuntungan Metode Ini:
Dengan metode ini, Anda tidak akan pernah tersesat dalam hitungan pecahan yang rumit, namun otak Anda tetap menjadi Verifikator Akhir yang menentukan arah algoritma. Inilah cara membangun intuisi seorang manajer yang menguasai teknologi, bukan dikuasai teknologi.