Statistika Bisnis Sesi 07

Leave a Comment / Statistika Bisnis / By

Estimasi Interval & Ukuran Sampel

Statistika Bisnis Sesi 07 — Panduan Lengkap (Konsep, Hitungan Manual, & Aplikasi Audit)

1. Konsep Dasar Statistik

Memahami Logika Distribusi Z vs t dan Derajat Kebebasan

Sebelum menghitung, kita harus paham alat apa yang dipakai. Dalam estimasi interval, kita mengenal dua distribusi utama:

Fitur Z-Distribution (Normal) t-Distribution (Student’s)
Syarat Utama Standar Deviasi Populasi (σ) DIKETAHUI Standar Deviasi Populasi (σ) TIDAK DIKETAHUI
Bentuk Kurva Lonceng Sempurna Lebih landai (ekor tebal) = Lebih hati-hati
Parameter Tetap Berubah sesuai Degrees of Freedom (df)

Apa itu Degrees of Freedom (df)?
Rumusnya df = n - 1. Ini adalah jumlah data yang “bebas bervariasi” setelah kita menetapkan rata-rata. Semakin kecil df (sampel kecil), semakin besar ketidakpastian kita, sehingga kurva t semakin landai (interval makin lebar).

2. Estimasi Interval untuk Mean (μ)

Menghitung Rentang Rata-rata Populasi

Karena dalam bisnis nyata kita jarang mengetahui σ, kita hampir selalu menggunakan Distribusi t.

CI = X̄ ± tα/2 × (S / √n)
• X̄: Rata-rata Sampel | S: St.Dev Sampel | n: Jumlah Sampel
BEDAH KASUS PPT (Slide 30)
Kasus: Saxon Home Improvement

Manajer ingin menaksir rata-rata nilai transaksi. Sampel n=100, Rata-rata=$84.24, St.Dev=$20.09. Keyakinan 95%.

Langkah Perhitungan:
  1. Cari df: 100 – 1 = 99.
  2. Cari t: Tabel t (df=99, 95%) ≈ 1.984.
  3. Margin Error: 1.984 × (20.09 / √100) = 3.99.
  4. Hasil: $84.24 ± 3.99 → $80.25 s.d. $88.23.
Excel Formula: =CONFIDENCE.T(0.05, 20.09, 100)

3. Estimasi Interval untuk Proporsi (π)

Menghitung Persentase (Data Kualitatif)

Digunakan untuk data kategorikal (Ya/Tidak, Sukses/Gagal). Syarat validitas: Jumlah sukses ($np$) dan gagal ($n(1-p)$) minimal harus 5.

CI = p ± Zα/2 × √( p(1-p) / n )
CONTOH KASUS
Survei Kepuasan Pelanggan

Dari 100 pelanggan, 25 menyatakan puas (p=0.25). Keyakinan 95% (Z=1.96).

Perhitungan:
  1. Standard Error = √(0.25 × 0.75 / 100) = 0.0433.
  2. Margin Error = 1.96 × 0.0433 = 0.085 (8.5%).
  3. Interval: 25% ± 8.5% → 16.5% s.d. 33.5%.

4. Menentukan Ukuran Sampel (n)

Perencanaan Riset: Berapa data yang harus diambil?

Jangan menebak jumlah sampel. Hitung berdasarkan toleransi error (e) yang Anda inginkan.

n = (Z2 × σ2) / e2
Untuk Proporsi, ganti σ2 dengan π(1-π)
KASUS PPT (Slide 45)
Kasus: Estimasi Produksi Kertas

Ingin error ±5, Keyakinan 90% (Z=1.645), Variasi data lalu (σ)=45.

Hitungan:
  1. n = (1.645² × 45²) / 5² = 219.19

ATURAN PENTING: Selalu bulatkan ke ATAS (Round Up). Jadi n = 220.

Excel Formula: =ROUNDUP( (1.645^2 * 45^2)/5^2 , 0 )

5. Audit & Finite Population Correction

Aplikasi Lapangan: Populasi Terbatas

Jika Anda mengambil sampel >5% dari populasi terbatas (misal audit internal), Anda wajib menggunakan FPC untuk mempersempit interval error.

Faktor FPC = √( (N – n) / (N – 1) )
KASUS AUDIT (Slide 55)
Kasus: Total Saldo Piutang

Populasi N=1000, Sampel n=80 (8% populasi → Pakai FPC). Hasil sampel: Mean=$87.6, S=$22.3.

Analisis:
  1. Hitung FPC: √((920/999)) = 0.96.
  2. Hitung Error Terkoreksi: 1.99 × (22.3/√80) × 0.96 = 4.76.
  3. Estimasi Total: 1.000 × ($87.6 ± 4.76) → $82,840 – $92,360.

6. Etika dalam Statistik

Integritas Data AurinoWorks

  • ❌ Jangan mengubah tingkat keyakinan (95% ke 90%) hanya agar hasil terlihat “lebih bagus” (interval sempit).
  • ❌ Jangan mengabaikan FPC jika populasi kecil, karena itu melebih-lebihkan risiko.
  • ✅ Selalu laporkan Margin of Error bersama rata-rata agar pengambil keputusan tahu tingkat risikonya.
© AurinoWorks – Learning Module Sesi 07

Estimasi Interval Keyakinan

Statistika Bisnis Sesi 07 — Panduan Lengkap Sesuai Materi Levine et al., Chapter 8

Outline Materi (Content of This Chapter):
  • 1. CI for Mean (σ Known)
  • 2. CI for Mean (σ Unknown)
  • 3. CI for Proportion (π)
  • 4. Determining Sample Size (n)
  • 5. Auditing & Finite Population (FPC)
1 Confidence Interval Mean (σ Diketahui)

Ini adalah kondisi “ideal” yang jarang terjadi dalam bisnis nyata, tetapi merupakan dasar teori statistik. Asumsinya: kita mengetahui Standar Deviasi Populasi (σ). Karena σ diketahui, kita dapat menggunakan Distribusi Normal Standar (Z).

[Image of normal distribution confidence interval]
CI = X̄ ± Zα/2 × (σ / √n)

Komponen (σ / √n) disebut Standard Error of the Mean.

Praktik Excel

Gunakan fungsi: =CONFIDENCE.NORM(alpha, standard_dev, size)

2 Confidence Interval Mean (σ Tidak Diketahui)

Inilah realita bisnis. Kita tidak tahu σ, jadi kita menggunakan Standar Deviasi Sampel (S) sebagai estimasi. Konsekuensinya, kita harus menggunakan Distribusi t-Student.

Filosofi: Kurva t-Student lebih landai (ekor lebih tebal) dibanding kurva Normal. Ini adalah cara statistik berkata: “Karena kamu hanya menaksir σ pakai S, saya berikan penalti ketidakpastian (interval lebih lebar).”

CI = X̄ ± tα/2 × (S / √n)

Nilai t bergantung pada Degrees of Freedom (df) = n – 1.

BEDAH KASUS PPT (Slide 30-33)
Kasus: Saxon Home Improvement

Manajer ingin menaksir rata-rata pembelian. Dari 100 sampel, didapat rata-rata $84.24 dan standar deviasi sampel $20.09. Tingkat keyakinan 95%.

Langkah Perhitungan:
  1. Cari df: n – 1 = 99.
  2. Cari nilai t: Lihat tabel t untuk df=99 dan α=0.05 (2-tail). Nilainya ≈ 1.984.
  3. Hitung Margin Error:
    Error = 1.984 × (20.09 / √100) = 1.984 × 2.009 = 3.99.
  4. Hasil Interval:
    $84.24 ± 3.99 → $80.25 s.d. $88.23.
Praktik Excel

Untuk mencari Margin Error (3.99) secara otomatis:

=CONFIDENCE.T(0.05, 20.09, 100)
3 Confidence Interval Proporsi (π)

Digunakan untuk data kategorikal (Ya/Tidak, Sukses/Gagal). Contoh: “Berapa persen pelanggan yang puas?”.

CI = p ± Zα/2 × √( p(1-p) / n )

Syarat: np ≥ 5 dan n(1-p) ≥ 5.

Praktik Excel

Excel tidak punya rumus CONFIDENCE.PROP, jadi kita hitung manual:

=1.96 * SQRT( (p*(1-p)) / n )
4 Menentukan Ukuran Sampel (n)

Berapa banyak data yang harus diambil? Jangan menebak. Hitung berdasarkan Error (e) yang bisa Anda toleransi.

BEDAH KASUS PPT (Slide 45)
Kasus: Estimasi Produksi Kertas (Saxon Paper)

Manajer menetapkan:

  • Error (e) tidak boleh lebih dari 5.
  • Tingkat keyakinan 90% (Z = 1.645).
  • Variabilitas data lalu (σ) = 45.
n = (Z2 × σ2) / e2
Perhitungan:
  1. n = (1.645² × 45²) / 5²
  2. n = (2.706 × 2025) / 25
  3. n = 219.19

ATURAN EMAS: Selalu bulatkan ke atas (Round Up). Jadi, n = 220.

Praktik Excel =ROUNDUP( (1.645^2 * 45^2) / 5^2, 0 )
5 Audit Sampling & FPC

Finite Population Correction (FPC) digunakan jika kita mengambil sampel >5% dari populasi yang jumlahnya terbatas (Finite). Ini sangat krusial dalam Audit untuk menghindari pelaporan error yang terlalu besar (over-stated).

FPC = √( (N – n) / (N – 1) )
STUDI KASUS AUDIT (Slide 55)
Kasus: Estimasi Total Saldo Piutang

Data: Populasi (N) = 1.000 akun. Sampel (n) = 80 akun. Rata-rata sampel = $87.6. Standar deviasi = $22.3.

Analisis Langkah demi Langkah:
  1. Cek FPC: 80/1000 = 8% (>5%). Maka FPC Wajib dipakai.
  2. Hitung FPC: √((920/999)) = 0.96.
  3. Hitung Margin Error (Per Akun):
    Error = 1.99 (nilai t) × (22.3 / √80) × 0.96 (FPC) = 4.76.
  4. Estimasi Total Populasi:
    Total = N × (Mean ± Error)
    Total = 1.000 × ($87.6 ± 4.76)
    Range: $82,840 s.d. $92,360.
Praktik Excel (Rumus Kombo)

Menghitung Margin Error Terkoreksi sekaligus:

=CONFIDENCE.T(0.05, 22.3, 80) * SQRT((1000-80)/(1000-1))

Materi Suplemen Statistika Bisnis Sesi 07 | © AurinoWorks

Estimasi Interval & Ukuran Sampel

Statistika Bisnis Sesi 07 – Panduan Komprehensif (Teori, Praktik Manual, & Excel)

Selamat datang di Sesi 07. Hingga saat ini, mungkin Anda terbiasa menggunakan satu angka rata-rata (Point Estimate) untuk mengambil keputusan. Misalnya: “Rata-rata penjualan kita 100 unit”.

Namun, sebagai calon analis yang berintegritas, itu tidak cukup. Data sampel selalu memiliki error. Di bab ini, kita akan belajar membangun Confidence Interval (Rentang Keyakinan). Tujuannya agar kita bisa berkata: “Saya yakin 95% penjualan kita ada di antara 95 sampai 105 unit.”

Kita akan membahas empat topik utama: Mean, Proporsi, Penentuan Ukuran Sampel, dan Aplikasi Audit.

1. Confidence Interval untuk Mean (σ Tidak Diketahui)

Dalam praktik bisnis nyata, kita hampir tidak pernah mengetahui standar deviasi populasi (σ). Kita hanya punya data sampel.

Oleh karena itu, kita tidak boleh menggunakan Distribusi Normal (Z) yang biasa. Kita harus menggunakan Distribusi t-Student. Distribusi ini memiliki “ekor” yang lebih tebal, yang mencerminkan ketidakpastian tambahan karena kita hanya menaksir variasi populasi menggunakan standar deviasi sampel (S).

Rumus: X̄ ± tα/2, n-1 × (S / √n)
• X̄ = Rata-rata Sampel
• t = Nilai kritis t (tergantung confidence level & df)
• df (Degrees of Freedom) = n – 1
• S = Standar Deviasi Sampel
• n = Jumlah Sampel
BEDAH KASUS PPT (Slide 30-33)

Kasus: Saxon Home Improvement

Perusahaan ingin mengestimasi rata-rata pembelian pelanggan. Diambil sampel 100 transaksi.

  • Rata-rata Sampel (X̄) = $84.24
  • Standar Deviasi (S) = $20.09
  • Ukuran Sampel (n) = 100
  • Confidence Level = 95%
Langkah Perhitungan Manual:
  1. Tentukan Derajat Kebebasan (df):
    df = n – 1 = 100 – 1 = 99.
  2. Cari Nilai t Tabel:
    Untuk confidence 95% (α=0.05) dan df=99, nilai t ≈ 1.984.
  3. Hitung Margin of Error:
    Error = t × (S / √n) = 1.984 × (20.09 / 10) = 1.984 × 2.009 = 3.99.
  4. Susun Interval:
    $84.24 ± 3.99 → $80.25 s.d. $88.23.
🖥️ PRAKTIK DI EXCEL

Untuk mencari nilai Margin of Error secara otomatis di Excel (tanpa buka tabel t), gunakan fungsi berikut:

=CONFIDENCE.T(0.05, 20.09, 100)

Penjelasan Parameter:
1. Alpha: 0.05 (didapat dari 100% – 95%)
2. Standard_dev: 20.09 (Nilai S)
3. Size: 100 (Nilai n)
Hasil fungsi ini adalah 3.99 (Margin of Error). Tinggal Anda kurangi dan tambahkan ke rata-rata.

2. Menentukan Ukuran Sampel (n)

Pertanyaan yang paling sering diajukan mahasiswa saat skripsi: “Pak, sampel saya harus berapa?”.

Jawabannya tidak bisa ditebak. Ukuran sampel (n) adalah hasil tarik-menarik antara tiga hal: seberapa yakin Anda ingin (Z), seberapa bervariasi datanya (σ), dan seberapa kecil error yang Anda toleransi (e).

Rumus: n = (Z2 × σ2) / e2
BEDAH KASUS PPT (Slide 45)

Kasus: Estimasi Produksi Kertas

Anda ingin mengestimasi rata-rata kekuatan kertas. Syarat manajemen:

  • Error tidak boleh lebih dari ±5 psi.
  • Tingkat keyakinan harus 90% (Z = 1.645).
  • Data historis menunjukkan standar deviasi (σ) = 45 psi.
Perhitungan:

n = (1.645² × 45²) / 5²
n = (2.706 × 2025) / 25
n = 219.19

PENTING: Dalam penentuan sampel, angka 219.19 tidak bisa dibulatkan ke bawah menjadi 219. Kita harus selalu ROUND UP (Bulatkan ke Atas) agar syarat error terpenuhi.
Maka, n = 220.

🖥️ PRAKTIK DI EXCEL

Excel tidak memiliki rumus khusus sample size, jadi kita tulis rumusnya manual:

=ROUNDUP( (1.645^2 * 45^2) / 5^2 , 0 )

Gunakan fungsi ROUNDUP(…, 0) untuk memastikan pembulatan ke atas tanpa desimal.

3. Audit Sampling & Finite Population Correction (FPC)

Ini adalah bagian terpenting bagi Akuntansi & Auditing. Rumus-rumus di atas mengasumsikan populasi tak terbatas. Namun, auditor sering bekerja dengan populasi yang jelas jumlahnya (Misal: 1.000 Faktur).

Jika Anda memeriksa sampel yang cukup banyak (lebih dari 5% populasi), Anda berhak mendapatkan “diskon error”. Rumus Margin of Error kita kalikan dengan faktor FPC agar intervalnya lebih sempit (lebih akurat).

Aturan Pakai: Gunakan FPC jika n / N > 0.05.

Faktor FPC = √( (N – n) / (N – 1) )
STUDI KASUS AUDIT (Slide 55)

Kasus: Estimasi Total Saldo Piutang

Auditor ingin tahu Total Nilai Rupiah dari 1.000 akun (N). Diambil sampel 80 akun (n).

  • Rata-rata Sampel = $87.6
  • Standar Deviasi = $22.3
Analisis Tahap demi Tahap:
  1. Cek Syarat FPC:
    80 / 1000 = 0.08 (8%). Karena > 5%, maka FPC WAJIB dipakai.
  2. Hitung Faktor FPC:
    Akar dari ((1000-80)/(999)) = 0.96.
  3. Hitung Interval Rata-rata (Per Akun):
    Margin Error Normal = 1.99 × (22.3 / √80) = 4.96.
    Margin Error Terkoreksi = 4.96 × 0.96 (FPC) = 4.76.
    Jadi, rata-rata per akun adalah $87.6 ± 4.76.
  4. Hitung Total Populasi:
    Kalikan semuanya dengan N (1.000).
    Total = 1.000 × ($87.6 ± 4.76)
    Total = $87,600 ± $4,760.

Kesimpulan: Total piutang ada di rentang $82,840 s.d. $92,360.

🖥️ PRAKTIK DI EXCEL (RUMUS KOMBO)

Untuk menghitung Margin of Error dengan FPC sekaligus di Excel:

=CONFIDENCE.T(0.05, 22.3, 80) * SQRT((1000-80)/(1000-1))

Rumus ini menggabungkan fungsi Confidence T dengan rumus manual FPC (SQRT). Hasilnya langsung Margin of Error terkoreksi yang presisi.

“Statistik bukan sekadar menghitung, tapi memahami cerita di balik angka.”

© AurinoWorks – Business Statistics Series

Confidence Intervals: Population Mean (μ)

Memahami perbedaan kondisi saat Standar Deviasi Populasi (σ) Diketahui vs Tidak Diketahui

1. Jika Standar Deviasi Populasi (σ) Diketahui Teoretis

Ini adalah kondisi ideal yang jarang terjadi dalam bisnis, namun menjadi fondasi teori statistik. Asumsinya: kita memiliki data historis populasi yang sangat kuat sehingga nilai σ (Sigma) dianggap fakta.

Karena σ diketahui, kita menggunakan Distribusi Normal Standar (Z-Distribution).

[Image of normal distribution curve with confidence interval]
CI = X̄ ± Zα/2 × (σ / √n)
• Z: Nilai kritis dari Tabel Z (misal: 1.96 untuk 95%)
• σ / √n: Standard Error of the Mean
Contoh Kasus: Pabrik Kertas (Paper Production)

Sebuah mesin diatur dengan standar deviasi populasi σ = 20. Manajer mengambil sampel n = 100 lembar, dengan rata-rata X̄ = 110. Tentukan interval keyakinan 95%.

Perhitungan Manual:
  1. Standard Error = 20 / √100 = 2.
  2. Nilai Z untuk 95% = 1.96.
  3. Margin of Error = 1.96 × 2 = 3.92.
  4. Interval: 110 ± 3.92 → 106.08 s.d. 113.92.
PRAKTIK EXCEL (Mencari Margin of Error): =CONFIDENCE.NORM(alpha, standard_dev, size)

Contoh: =CONFIDENCE.NORM(0.05, 20, 100) akan menghasilkan 3.92.

2. Jika Standar Deviasi Populasi (σ) Tidak Diketahui Realita Bisnis

Dalam riset nyata (survei pasar, audit), kita tidak tahu σ. Kita hanya memiliki Standar Deviasi Sampel (S). Karena kita menggunakan estimasi (S) untuk menggantikan (σ), ketidakpastian bertambah.

Oleh karena itu, kita DILARANG menggunakan distribusi Z. Kita wajib menggunakan Distribusi t-Student. Kurva t lebih landai (ekor lebih tebal) dibanding Z, memberikan rentang interval yang sedikit lebih lebar sebagai bentuk “kehati-hatian”.

CI = X̄ ± tα/2 × (S / √n)
• t: Nilai kritis dari Tabel t (tergantung Degrees of Freedom)
• df (Degrees of Freedom): n – 1
Bedah Kasus PPT: Saxon Home Improvement

Manajer ingin menaksir rata-rata pembelian. Sampel diambil dari 100 transaksi.

  • Rata-rata Sampel (X̄) = $84.24
  • Standar Deviasi Sampel (S) = $20.09
  • Tingkat Keyakinan = 95%
Langkah Perhitungan:
  1. Hitung df: n – 1 = 99.
  2. Cari Nilai t: Dari tabel t (df=99, α=0.05) ≈ 1.984.
    (Perhatikan: Nilai ini > 1.96 karena penalti ketidakpastian).
  3. Hitung Margin Error:
    Error = 1.984 × (20.09 / √100)
    Error = 1.984 × 2.009 = 3.99.
  4. Hasil Interval:
    $84.24 ± 3.99 → $80.25 s.d. $88.23.

Interpretasi: Kita yakin 95% bahwa rata-rata pembelian populasi sesungguhnya ada di antara $80.25 hingga $88.23.

PRAKTIK EXCEL (Wajib Pakai Fungsi T): =CONFIDENCE.T(alpha, standard_dev, size)

Input: =CONFIDENCE.T(0.05, 20.09, 100)
Hasil: 3.98… (Margin of Error).
Lalu hitung manual: Lower Limit = 84.24 – 3.98 dan Upper Limit = 84.24 + 3.98.

Confidence Intervals: Population Proportion (π)

Estimasi untuk Data Kategorikal (Kualitatif)

Berbeda dengan Mean yang mengukur data kuantitatif (angka), Proporsi digunakan untuk data Kategorikal. Contohnya: Pelanggan “Puas” vs “Tidak Puas”, Produk “Cacat” vs “Bagus”, atau Pemilih “Setuju” vs “Tidak Setuju”.

Di sini kita ingin mengestimasi persentase populasi ($\pi$) berdasarkan persentase sampel ($p$).

⚠️ Syarat Validitas (Penting!):
Kita hanya boleh menggunakan pendekatan Distribusi Normal (Z) jika sampel cukup besar, yaitu:
1. n × p ≥ 5 (Jumlah sukses minimal 5)
2. n × (1 – p) ≥ 5 (Jumlah gagal minimal 5)
CI = p ± Zα/2 × √( p(1 – p) / n )
• p: Proporsi Sampel (Jumlah Sukses / n)
• Z: Nilai kritis dari Tabel Z (misal: 1.96 untuk 95%)
• √( p(1 – p) / n ): Standard Error of the Proportion
Contoh Kasus: Survei Surat Kabar

Manajer pemasaran ingin mengestimasi proporsi pelanggan yang membaca koran edisi Minggu. Dari sampel acak n = 100 pelanggan, ditemukan 25 orang membaca edisi Minggu. Tingkat Keyakinan 95%.

Langkah Perhitungan:
  1. Hitung Proporsi Sampel (p):
    p = X / n = 25 / 100 = 0.25 (atau 25%).
  2. Cek Syarat:
    n×p = 25 (≥5) dan n×(1-p) = 75 (≥5). Valid.
  3. Hitung Standard Error:
    SE = √( 0.25 × 0.75 / 100 )
    SE = √( 0.1875 / 100 ) = √0.001875 = 0.0433.
  4. Hitung Margin Error:
    Z untuk 95% = 1.96.
    Error = 1.96 × 0.0433 = 0.0849 (atau 8.49%).
  5. Hasil Interval:
    0.25 ± 0.0849 → 0.1651 s.d. 0.3349.
    (Antara 16.51% sampai 33.49%).

Interpretasi: Kami yakin 95% bahwa proporsi pembaca koran edisi Minggu di populasi sebenarnya berkisar antara 16.5% hingga 33.5%.

PRAKTIK EXCEL (Rumus Manual):

Excel tidak memiliki fungsi khusus seperti CONFIDENCE.PROP, jadi kita harus mengetik rumusnya:

=1.96 * SQRT( (0.25 * (1-0.25)) / 100 )

Tips: Ganti 0.25 dengan cell berisi nilai p, dan 100 dengan cell berisi n. Hasilnya adalah Margin of Error.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *