Syarat PDF (f(x)):

• f(x) ≥ 0 untuk semua x. (Tidak ada peluang negatif).
• Total Area di bawah kurva = 1 (Total peluang pasti 100%).
• Rumus Peluang: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx

Contoh 1 (Waktu Tunggu CS):
Waktu tunggu (dalam menit) untuk berbicara dengan CS didekati dengan fungsi PDF:
f(x) = 1/10 untuk 0 ≤ x ≤ 10, dan 0 untuk lainnya.

Pertanyaan: Berapa peluang seorang nasabah menunggu antara 3 sampai 7 menit?

Solusi Step-by-Step:

1. Susun Integral Tentu:
   P(3 ≤ X ≤ 7) = ∫₃⁷ (1/10) dx.
2. Cari Antiderivatif:
   Integral dari konstanta (1/10) adalah x/10.
3. Evaluasi Batas:
   [x/10] dari 3 sampai 7 = (7/10) – (3/10).
4. Hasil Akhir:
   4/10 = 0.4 (atau 40%).

Interpretasi: Ada peluang 40% nasabah menunggu di rentang waktu tersebut.

Contoh 2 (Umur Komponen Elektronik):
Umur pakai (X dalam tahun) sebuah chip komputer memiliki fungsi PDF:
f(x) = 3x² untuk 0 < x < 1.

Pertanyaan: Berapa peluang chip tersebut rusak sebelum 6 bulan (0.5 tahun)?

Solusi:

1. Integral: P(0 ≤ X ≤ 0.5) = ∫₀^0.5 3x² dx.
2. Antiderivatif: Turunan naik pangkat. 3(x³/3) = x³.
3. Evaluasi: (0.5)³ – (0)³.
4. Hasil: 0.125 – 0 = 0.125 (12.5%).

Rumus Z-Score:
Z = (X – μ) / σ

• X: Nilai yang ingin dicari peluangnya.
• μ (Mu): Rata-rata populasi.
• σ (Sigma): Standar deviasi (simpangan baku).

Studi Kasus 3 (Quality Control Pabrik):
Sebuah mesin pengisi botol minuman diatur untuk mengisi rata-rata (μ) 500 ml. Standar deviasinya (σ) adalah 5 ml. Botol dianggap “cacat” jika isinya kurang dari 490 ml.

Misi: Berapa persen botol yang akan dibuang karena kurang isi?

Langkah Coba-Pikir-Tindak:

1. Identifikasi Variabel:
   μ = 500, σ = 5, X = 490. Kita cari P(X < 490).
2. Hitung Z-Score:
   Z = (490 – 500) / 5
   Z = -10 / 5 = -2.00.
3. Cek Tabel Z (Standard Normal Table):
   Cari nilai area di sebelah kiri Z = -2.00.
   (Biasanya bernilai sekitar 0.0228).
4. Kesimpulan:
   Peluang botol kurang isi adalah 0.0228 atau 2.28%.

Keputusan Manajer: Jika margin error 2.28% dianggap terlalu tinggi, Anda harus kalibrasi ulang mesin untuk memperkecil σ (standar deviasi).

Studi Kasus 4 (Skor Ujian Masuk):
Skor ujian masuk manajemen berdistribusi normal dengan rata-rata 75 dan deviasi standar 10. Berapa persen peserta yang nilainya antara 80 dan 90?

Langkah Pengerjaan:

1. Z untuk X=80:
   Z₁ = (80 – 75) / 10 = 0.50.
2. Z untuk X=90:
   Z₂ = (90 – 75) / 10 = 1.50.
3. Cari Area Tabel Z:
   Area(Z < 1.50) = 0.9332
   Area(Z < 0.50) = 0.6915
4. Hitung Selisih Area:
   0.9332 – 0.6915 = 0.2417.

Hasil: Sekitar 24.17% peserta memiliki nilai di rentang 80-90.

Contoh 5 (Target Penjualan – Inverse Z):
Seorang manajer ingin menentukan target penjualan harian agar hanya 5% hari kerja yang tidak mencapai target (bottom 5%). Rata-rata penjualan harian μ = 1000 unit, σ = 100.

Misi: Cari nilai X (target minimal).

Langkah:

1. Cari Z untuk area 5% (0.05): Dari tabel Z, nilai yang paling mendekati 0.0500 adalah Z = -1.645.
2. Gunakan Rumus Z-Score:
   -1.645 = (X – 1000) / 100
3. Selesaikan X:
   X – 1000 = -1.645 * 100
   X = 1000 – 164.5 = 835.5.

Kesimpulan: Tetapkan target minimal sekitar 835 unit.

Syarat Konversi:
Rata-rata baru (μ) = n ⋅ p
Standar Deviasi baru (σ) = √(n ⋅ p ⋅ q)