Module 01 – Review of Algebra
Membangun Ulang Fondasi Matematika
| Kode Mata Kuliah | : MNJ104 |
| Topik | : Review of Algebra (Chapter 0) |
Sebelum masuk ke kalkulus dan aplikasi bisnis yang kompleks, kita perlu memastikan “alat tempur” kita sudah tajam. Modul ini menyegarkan kembali ingatan tentang aturan dasar aljabar yang krusial untuk bab-bab selanjutnya.
1. Sets & Real Numbers
Sistem bilangan real terdiri dari beberapa himpunan bagian penting:
…, -2, -1, 0, 1, 2, …
Bilangan yang bisa ditulis sebagai pecahan a/b.
Contoh: 0.5, 2/3, 7.
🔍 Konteks Bisnis: Validasi Data ERP
Seorang manajer harus memahami tipe data untuk menghindari kesalahan input sistem. Berikut contoh penerapannya:
| Variabel Bisnis | Jenis Himpunan | Alasan Logis |
|---|---|---|
| Stok Barang Fisik (Q) | Integers (Z) | Anda tidak bisa memiliki 3.5 unit laptop di gudang. Harus bilangan bulat. |
| Rasio Keuangan | Rational (Q) | Rasio hutang (0.5 atau 1/2) adalah pecahan yang terukur. |
| Profit/Loss | Real Numbers (R) | Bisa bernilai negatif (rugi) dan mengandung desimal (sen). |
2. Exponents & Radicals
Aturan eksponen sangat sering digunakan dalam perhitungan bunga majemuk dan fungsi pertumbuhan.
| Aturan | Rumus Umum | Contoh |
|---|---|---|
| Perkalian | xa · xb = xa+b | 23 · 22 = 25 = 32 |
| Pembagian | xa / xb = xa-b | x5 / x2 = x3 |
| Pangkat Negatif | x-n = 1 / xn | 4-1 = 1/4 |
📈 Aplikasi Bisnis: Bunga Majemuk (Compound Interest)
Soal: Investasi awal $10,000 tumbuh 5% per tahun selama 3 tahun. Hitung Nilai Akhir (FV).
Rumus: FV = P(1 + r)n
-
Substitusi Data:
FV = 10,000 (1 + 0.05)3 -
Operasi Dalam Kurung (Prioritas):
FV = 10,000 (1.05)3 -
Eksekusi Eksponen:
Ingat: 1.053 = 1.05 × 1.05 × 1.05
Hasil = 1.157625 -
Hasil Akhir:
FV = 10,000 × 1.157625 = $11,576.25
*Pelajaran: Jangan membulatkan desimal di tengah langkah (misal 1.05 jadi 1.1), karena akan menyebabkan distorsi nilai uang yang besar.
3. Algebraic Operations
Pemfaktoran adalah keahlian penting untuk mencari akar-akar persamaan (break-even point sering menggunakan ini).
Sederhanakan ekspresi berikut:
Tips: Cari dua angka yang jika dikali hasilnya -15, jika dijumlah hasilnya -2.
Langkah Penyelesaian:
- Faktor dari -15: (-5, 3), (5, -3), …
- Cek penjumlahan: -5 + 3 = -2 (Cocok!)
⚖️ Aplikasi Bisnis: Mencari Titik Impas (BEP)
Diketahui fungsi keuntungan: π(x) = x2 – 8x – 20.
Berapa unit (x) yang harus dijual agar profit = 0 (Impas)?
Cari angka yang dikali = -20, dijumlah = -8.
👉 Pasangan yang tepat: (-10) dan (+2).
- Solusi 1: x = 10
- Solusi 2: x = -2 (Mustahil)
Kesimpulan: Karena jumlah barang tidak mungkin negatif, maka BEP tercapai pada penjualan 10 unit.
4. Algebraic Fractions (The Golden Rule)
Kesalahan paling fatal dalam aljabar adalah mencoret angka sembarangan. Ingat aturan emas ini: “Anda hanya boleh mencoret FAKTOR (pengali), bukan SUKU (penjumlah).”
Kenapa salah?
Karena angka 2 di atas adalah bagian dari penjumlahan (suku), bukan perkalian seluruhnya.
Logika Angka: (6+1)/2 = 3.5.
Kalau dicoret jadi 6/1 + 1 = 7. (Salah jauh!)
Solusinya: Faktorkan dulu baru coret.
= 2(x + 2) / 2
= x + 2
Bagaimana dengan (2x + 1) / 2 ?
Karena tidak bisa difaktorkan, biarkan saja bentuknya begitu (sudah paling sederhana), atau pisahkan menjadi:
x + 1/2.
Disusun dengan bantuan teknologi AI (Gemini & OpenAI).