Module 02 – Applications & More Algebra

Menerjemahkan Masalah Bisnis ke Bahasa Matematika

Kode Mata Kuliah	: MNJ104
Topik Utama	: Applications of Equations, Inequalities, Absolute Value, Sigma Notation.
Referensi	: Haeussler, Chapter 1

“Pada modul ini, perhatian utama tidak lagi pada teknik aljabar semata, melainkan pada proses berpikir dalam menerjemahkan permasalahan bisnis ke dalam model matematika.”

1. Applications of Equations

Langkah pertama dalam modeling bisnis adalah menentukan variabel bebas, kemudian menyusun hubungan antara biaya, pendapatan, dan target profit.

Studi Kasus 1: Perencanaan Laba

Soal: Biaya tetap Rp80.000, biaya variabel Rp6/unit. Harga jual Rp10/unit. Berapa unit harus terjual untuk mencapai target untung Rp60.000?

Lihat Solusi Sistematis

1. Misalkan q = jumlah unit.
2. Rumus Laba: Laba = Pendapatan – (Biaya Variabel + Biaya Tetap)
3. Persamaan: 60.000 = 10q – (6q + 80.000)
4. 60.000 = 4q – 80.000 → 140.000 = 4q
5. q = 35.000 unit.

Studi Kasus 2: Masalah Campuran (Mixture Problem)

Soal: Siapkan 350 ml larutan yang terdiri dari 2 bagian alkohol dan 3 bagian asam.

Hitung Komposisi

Total Bagian = 2 + 3 = 5.
1 Bagian (n) = 350 / 5 = 70 ml.
Alkohol: 2 x 70 = 140 ml.
Asam: 3 x 70 = 210 ml.

Visualisasi Komposisi

Asam
210ml

Alkohol
140ml

Total: 350ml

2. Linear Inequalities

Digunakan saat kita mencari batasan (misalnya: “paling sedikit” atau “tidak boleh lebih dari”).

Contoh Titik Impas (Break-Even):
Biaya tetap Rp70.000, biaya variabel Rp21, harga jual Rp35. Agar tidak rugi (Laba ≥ 0):

                35q – (21q + 70.000) ≥ 0 

                14q ≥ 70.000 → q ≥ 5.000 unit

Studi Kasus 3: Alokasi Investasi

Total dana $10.000. Instrumen A (bunga 6%), Instrumen B (bunga 5,75%). Target total bunga adalah $588,75. Berapa alokasi masing-masing?

Analisis Variabel & Persamaan

1. Misalkan x = dana di Instrumen A.
2. Maka (10.000 – x) = dana di Instrumen B.
3. Persamaan: 0,06x + 0,0575(10.000 – x) = 588,75
4. 0,06x + 575 – 0,0575x = 588,75
5. 0,0025x = 13,75 → x = 5.500.
Hasil: $5.500 di Instrumen A dan $4.500 di Instrumen B.

3. Absolute Value

Nilai mutlak menyatakan jarak terhadap standar, krusial dalam Quality Control dan rasio keuangan.

Contoh Quality Control:
Berat standar produk 100 gram, toleransi kesalahan 2 gram.

                |x – 100| ≤ 2
            

(Rentang berat yang diterima: 98g s.d 102g)

Studi Kasus 4: Batasan Rasio Keuangan

Aset lancar $350.000, utang lancar $80.000. Manajemen ingin Current Ratio ≥ 2,5. Berapa maksimal pinjaman (x) tambahan?

Hitung Kapasitas Hutang

1. (350.000 + x) / (80.000 + x) ≥ 2,5
2. 350.000 + x ≥ 2,5(80.000 + x)
3. 350.000 + x ≥ 200.000 + 2,5x
4. 150.000 ≥ 1,5x → x ≤ 100.000.
Hasil: Maksimal pinjaman adalah $100.000.

4. Summation Notation (Sigma)

Bahasa matematika untuk menyingkat penjumlahan data besar.

∑_i=1ⁿ x_i

Penjumlahan data ke-1 sampai ke-n

Latihan Operasi Sigma:

Konstanta: ∑_j=30¹⁰⁰ 4 = 4 x (100 – 30 + 1) = 4 x 71 = 284.
Ekspresi Linear: ∑_k=1¹⁰⁰ (5k + 3) = 5(∑k) + ∑3 = 5(5.050) + 300 = 25.550.
Kuadrat: ∑_k=1²⁰⁰ 9k² = 9 ⋅ [n(n+1)(2n+1)/6] = 24.180.300.

🎯 Mini Quiz: Tantangan Logika

Tantangan: Hitung total dari ∑_k=1⁴ (2k + 5) tanpa kalkulator.

Cek Jawaban

                    k=1: (2(1)+5) = 7 

                    k=2: (2(2)+5) = 9 

                    k=3: (2(3)+5) = 11 

                    k=4: (2(4)+5) = 13 

                    Total: 7+9+11+13 = 40.

Module 01 – Review of Basic Algebra: Fondasi Matematis Bisnis

MAT BIS

Module 03 – Functions & Graphs