Integer, Goal, & Nonlinear Programming Models

Sejauh ini, kita menggunakan Linear Programming (LP) dengan asumsi bahwa variabel bisa berupa pecahan (misalnya: memproduksi 3.5 unit). Namun, dalam dunia nyata, kita tidak bisa menjual setengah mobil atau membangun setengah pabrik. Selain itu, keuntungan tidak selalu berupa garis lurus.

Pada Sesi 05 ini, kita akan mempelajari tiga variasi model tingkat lanjut: Integer Programming, Goal Programming, dan Nonlinear Programming.

1. Integer Programming (IP)

Masalah ini muncul ketika variabel keputusan harus berupa bilangan bulat (whole numbers).

Jenis Variabel Integer

General Integer Variables: Nilai bisa 0, 1, 2, 3, dst. (Contoh: Jumlah mesin yang dibeli).
Binary Variables (0-1): Hanya bernilai 0 atau 1. Biasanya digunakan untuk keputusan “Ya/Tidak”.
- 1 = Ya (Pilih proyek ini / Buka pabrik ini).
- 0 = Tidak.

Studi Kasus: Harrison Electric (General Integer)

Perusahaan memproduksi lampu dan kipas angin. Karena produk ini dijual satuan, kita tidak bisa memproduksi 3.5 kipas.

Tantangan: Pembulatan solusi LP biasa seringkali memberikan hasil yang tidak layak (infeasible) atau bukan solusi optimal.
Solusi di Excel: Menambahkan constraint khusus pada Solver.

[Masukkan Screenshot File: 6-1.xls]

Tampilkan kotak dialog Solver di mana constraint “int” (Integer) diterapkan pada variabel keputusan.

2. Aplikasi Variabel Biner (0/1)

Variabel biner adalah alat yang sangat powerful untuk memodelkan logika bisnis.

A. Capital Budgeting (Penganggaran Modal)

Memilih kombinasi proyek investasi (Investasi A, B, C) dengan modal terbatas.

File Latihan: 6-2.xls (Simkin’s Hardware).
Logika: Jika $X_1 = 1$, maka proyek diambil.

B. Fixed Charge Problem (Biaya Tetap)

Seringkali, memulai produksi membutuhkan “Biaya Setup” yang mahal. Jika tidak produksi, biaya setup nol.

Logika: Biaya Total = (Biaya Setup $\times$ Variabel Biner) + (Biaya Variabel $\times$ Jumlah Unit).
File Latihan: 6-3.xls.

C. Set Covering Problem

Menentukan lokasi fasilitas (misal: stasiun pemadam kebakaran) agar seluruh wilayah ter-cover dengan jumlah stasiun seminimal mungkin.

File Latihan: 6-4.xls.

3. Goal Programming (GP)

Bisnis seringkali memiliki tujuan yang bertentangan. Misalnya: “Maksimalkan profit” TAPI JUGA “Minimalkan PHK karyawan”. LP biasa hanya bisa menangani satu Objective Function. Goal Programming memungkinkan kita mengejar banyak tujuan sekaligus.

Konsep Kunci: Deviational Variables

Kita menetapkan target, lalu mengukur penyimpangan dari target tersebut:

$d^+$ : Jumlah di atas target (Overachievement).
$d^-$ : Jumlah di bawah target (Underachievement).
Tujuan: Meminimalkan deviasi ($d^+$ dan $d^-$) sesuai prioritas bobotnya.

4. Nonlinear Programming (NLP)

Dalam ekonomi, hubungan antar variabel tidak selamanya lurus (linear).

Diminishing Returns: Semakin banyak iklan, kenaikan penjualan semakin melambat.
Elastisitas Harga: Harga makin tinggi, permintaan makin turun ($Demand = 1000 – 5 \times Price$). Akibatnya, rumus Revenue menjadi kuadratik (ada unsur pangkat 2).

Studi Kasus: Pickens Memorial Hospital

Rumah sakit ingin memaksimalkan profit pasien, namun fungsi profitnya bersifat non-linear (melengkung).

File Latihan: 6-10.xls atau 6-11.xls.

[Masukkan Screenshot File: 6-10.xls]

Tampilkan grafik profit yang melengkung (tidak lurus) jika ada, atau rumus non-linear di cell objective.

PENTING: Pengaturan Solver untuk NLP

Untuk menyelesaikan masalah non-linear, Anda harus mengubah Solving Method di Excel:

Buka Solver.
Pada “Select a Solving Method”, ubah dari Simplex LP menjadi GRG Nonlinear.
Solver akan menggunakan algoritma pencarian gunung/lembah untuk mencari solusi optimal.

Ringkasan Penggunaan Solver

Model	Tipe Variabel	Metode Solver	Constraint Khusus
Linear Programming	Kontinu (Desimal)	Simplex LP	Tidak ada
Integer Programming	Bilangan Bulat	Simplex LP	Add Constraint > Pilih int
Binary Model	0 atau 1	Simplex LP	Add Constraint > Pilih bin
Nonlinear Prog.	Rumus Pangkat/Log	GRG Nonlinear	Tidak ada

Tugas Praktik:

Buka file 6-5.xls (Goal Programming). Perhatikan bagaimana variabel $d^-$ dan $d^+$ digunakan dalam Sum of Product untuk fungsi tujuan. Cobalah ubah bobot prioritasnya dan lihat bagaimana keputusan manajerial berubah.

Sesi 05 BDM